Парадокс двух машин

Чтобы разогнаться, машина отталкивается от дороги: сила трения покоя действует и на колёса, и (по третьему закону Ньютона) на Землю. Кто ещё меняет свою энергию в обеих системах отсчёта?

Да, одинакова: в обеих системах отсчёта на разгон ушла одна и та же энергия топлива \(\Delta U=\dfrac{3}{2}mv^2+\dfrac{m^2v^2}{2M}\approx\dfrac{3}{2}mv^2\); разница \(\Delta E_1-\Delta E_2=mv^2\) — энергия, которую в системе \(B\) приобретает Земля.

Что происходит. Машина \(A\) разгоняется, отталкиваясь от дороги, поэтому импульс, который она получает, забирает Земля. Система из одной машины незамкнута, и закон сохранения энергии для неё в виде «энергия топлива равна приросту кинетической энергии машины» неверен. Нужно взять замкнутую систему: машина \(A\) + топливо + Земля — и записать для неё сохранение импульса и энергии в обеих системах отсчёта.

Обозначения. \(m\) — масса машины \(A\), \(M\) — масса Земли (\(M\gg m\)), \(\Delta U\) — уменьшение внутренней (химической) энергии топлива. Система \(K\) — шоссе (Земля покоится до разгона), система \(K'\) — машина \(B\), движется относительно \(K\) со скоростью \(v\). Машина \(B\) едет равномерно, её двигатель только компенсирует сопротивление, поэтому энергия \(B\) и её топлива одинакова во всех состояниях и из уравнений выпадает. Колёса катятся без проскальзывания, поэтому тепла трением нет; сопротивление воздуха считаем одинаковым до и после и тоже не учитываем.

Пункт 1. Система \(K\) (шоссе). Закон сохранения импульса для замкнутой системы Земля + машина \(A\) за время разгона (сила трения между колёсами и дорогой — внутренняя): импульс \(A\) вырос на \(m(2v-v)=mv\), значит импульс Земли изменился на \(-mv\). Отсюда скорость Земли \(V=\dfrac{m}{M}v\) в сторону, противоположную движению машины.

Закон сохранения энергии для той же системы: уменьшение энергии топлива равно приросту кинетических энергий машины и Земли: \[\Delta U=\frac{m(2v)^2}{2}-\frac{mv^2}{2}+\frac{MV^2}{2}=\frac{3}{2}\,mv^2+\frac{m^2v^2}{2M}.\]

Пункт 2. Система \(K'\) (машина \(B\)). Здесь до разгона машина \(A\) покоится, а Земля движется со скоростью \(v\) назад: её импульс \(-Mv\). После разгона машина \(A\) имеет скорость \(v\) (относительно \(B\): \(2v-v\)). Закон сохранения импульса для системы Земля + \(A\): \[M u'+mv=-Mv\ \Rightarrow\ u'=-\Big(1+\frac{m}{M}\Big)v,\] Земля теперь движется назад со скоростью \(\Big(1+\dfrac{m}{M}\Big)v\). Закон сохранения энергии: \[\Delta U'=\frac{mv^2}{2}+\frac{M}{2}\Big[\Big(1+\frac{m}{M}\Big)^2-1\Big]v^2 =\frac{mv^2}{2}+mv^2+\frac{m^2v^2}{2M}=\frac{3}{2}\,mv^2+\frac{m^2v^2}{2M}.\] Получилось \(\Delta U'=\Delta U\): энергия, выделившаяся при сгорании топлива, в обеих системах одна и та же, значит одна и та же и теплота сгорания (масса топлива одна, наблюдатели видят одно и то же событие).

Объяснение парадокса. \(\Delta E_1=\tfrac32 mv^2\) и \(\Delta E_2=\tfrac12 mv^2\) — это прирост энергии только машины. В системе \(K\) Земля приобретает энергию \(\dfrac{m^2v^2}{2M}\approx0\): она почти неподвижна, и вся энергия топлива идёт машине. В системе \(K'\) Земля движется со скоростью \(v\) и меняет импульс на \(mv\), поэтому её энергия растёт на \(mv^2+\dfrac{m^2v^2}{2M}\) — на первое слагаемое, линейное по \(v\). Вывод «энергия топлива равна приросту энергии машины» сделан для незамкнутой системы и поэтому зависит от системы отсчёта. Обратите внимание: добавка Земли в \(K'\) не мала, хотя её масса огромна, потому что при скорости \(v\) даже малое изменение скорости \(\Delta V=\dfrac{mv}{M}\) меняет энергию на \(Mv\,\Delta V=mv^2\) — порядка энергии машины.

Ответ: \(\Delta U=\dfrac{3}{2}mv^2+\dfrac{m^2v^2}{2M}\approx\dfrac{3}{2}mv^2\) в обеих системах; теплота сгорания одна и та же.

Проверка. Второй способ: для замкнутой системы переход из \(K\) в \(K'\) меняет прирост энергии на \(-\vec w\cdot\Delta\vec P\), где \(\vec w\) — скорость одной системы относительно другой, а \(\Delta\vec P=0\) — изменение полного импульса. Значит, прирост энергии замкнутой системы, равный \(\Delta U\), не зависит от системы отсчёта — как и получилось. Число: при \(m=1000\) кг, \(v=10\) м/с в обеих системах \(\Delta U\approx150\) кДж; в \(K'\) из них \(50\) кДж достаются машине и \(100\) кДж — Земле.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.