Три груза и нить

Груз 1 прижат к грузу 2 и движется вместе с ним по горизонтали, а по вертикали скользит. Запишите уравнения движения для груза 3, для пары грузов 1 и 2 по горизонтали, для груза 1 по вертикали и условие нерастяжимости нити.

Введём систему координат, как показано на рисунке.

Пусть \(T\) — сила натяжения нити, \(a_{1x}\) и \(a_{1y}\) — проекции ускорения первого груза на координатные оси, \(a_2 = a_{1x}\) — ускорение второго груза, \(a_3\) — ускорение третьего груза. Запишем уравнения движения грузов и уравнения кинематической связи в проекциях на координатные оси.

\(m_3a_3 = T - m_3g\) (уравнение движения третьего груза);

\((m_1 + m_2)a_2 = T\) (уравнение движения системы из первого и второго грузов);

\(m_1a_{1y} = T - m_1g\) (уравнение движения первого груза);

\(a_{1y} + a_2 + a_3 = 0\) (кинематическая связь).

Заметим, что последнее уравнение следует из условия нерастяжимости нити.

Выразим из первых трёх уравнений ускорения грузов: \[a_3 = \dfrac{T}{m_3} - g,\quad a_2 = \dfrac{T}{m_1 + m_2},\quad a_{1y} = \dfrac{T}{m_1} - g.\] Подставив их в уравнение кинематической связи, получим соотношение для определения силы натяжения нити: \[T = \dfrac{2g}{\dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_1 + m_2} + \dfrac{1}{m_3}} = \dfrac{2m_1m_3(m_1 + m_2)g}{(m_1 + m_2)(m_1 + m_3) + m_1m_3}.\] Отсюда определим проекции ускорения первого груза: \[a_{1x} = a_2 = \dfrac{2m_1m_3}{(m_1 + m_2)(m_1 + m_3) + m_1m_3}g;\] \[a_{1y} = \dfrac{m_2(m_3 - m_1) - m_1^2}{(m_1 + m_2)(m_1 + m_3) + m_1m_3}g.\] Следовательно, величина ускорения первого груза \[a_1 = \sqrt{a_{1x}^2 + a_{1y}^2} = \dfrac{\sqrt{(2m_1m_3)^2 + \left(m_2(m_3 - m_1) - m_1^2\right)^2}}{(m_1 + m_2)(m_1 + m_3) + m_1m_3}g,\] а угол \(\varphi\) между его направлением и горизонтальной осью определяется из соотношения \[\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{a_{1y}}{a_{1x}} = \dfrac{m_2(m_3 - m_1) - m_1^2}{2m_1m_3}.\]