Цилиндр и клин

Куда направлена сила, с которой гладкая вертикальная грань клина давит на цилиндр? Как связаны скорости тел, если они остаются в контакте?

\(N=\dfrac{2m_1m_2}{m_1+m_2}\,g\tan\alpha\).

Что происходит. Цилиндр лежит на левой плоскости и опирается на вертикальную грань клина, клин лежит на правой плоскости. Все поверхности гладкие, поэтому сила клина на цилиндр горизонтальна (она перпендикулярна вертикальной грани). Тела остаются в контакте, значит, их ускорения связаны. Главная идея — найти эту связь, затем записать второй закон Ньютона для каждого тела вдоль его плоскости: так не нужно знать силы реакции плоскостей.

Обозначения. \(N\) — модуль силы, с которой клин давит на цилиндр (по третьему закону Ньютона цилиндр давит на клин с такой же по модулю силой \(N'=N\)). \(a\) — модуль ускорения цилиндра вдоль левой плоскости. Для цилиндра положительным считаем направление вниз по левой плоскости, для клина — вверх по правой плоскости. Покажем, что именно так, а не «оба вниз», тела и должны двигаться.

1. Связь ускорений. Цилиндр смещается вдоль левой плоскости вниз, его центр движется вправо и вниз. Горизонтальная составляющая смещения равна \(s_1\cos\alpha\). Грань клина вертикальна, поэтому, пока тела касаются, горизонтальные смещения цилиндра и клина одинаковы. Клин смещается вдоль правой плоскости на \(s_2\), его горизонтальное смещение тоже направлено вправо и равно \(s_2\cos\alpha\) (клин поднимается по правой плоскости). Из равенства \(s_1\cos\alpha=s_2\cos\alpha\) получаем \(s_1=s_2\), а значит, равны скорости и ускорения вдоль плоскостей: у обоих тел модуль ускорения равен \(a\).

2. Второй закон Ньютона для цилиндра. Запишем его вдоль левой плоскости, ось направлена вниз по плоскости. Сила тяжести даёт проекцию \(m_1g\sin\alpha\). Сила клина \(N\) горизонтальна и направлена влево, её проекция на ось равна \(-N\cos\alpha\). Сила реакции плоскости перпендикулярна плоскости и проекции на ось не даёт, поэтому знать её не нужно: \[m_1a=m_1g\sin\alpha-N\cos\alpha .\]

3. Второй закон Ньютона для клина. Ось направим вверх по правой плоскости. Сила тяжести даёт \(-m_2g\sin\alpha\), горизонтальная сила цилиндра \(N\) направлена вправо, её проекция равна \(N\cos\alpha\); реакция плоскости проекции не даёт: \[m_2a=N\cos\alpha-m_2g\sin\alpha .\]

4. Решение. Сложим два уравнения: слагаемые с \(N\) сокращаются, \[(m_1+m_2)\,a=(m_1-m_2)\,g\sin\alpha,\qquad a=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g\sin\alpha .\] Подставим \(a\) во второе уравнение: \(N\cos\alpha=m_2(a+g\sin\alpha)=m_2g\sin\alpha\cdot\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}\). Отсюда \[N=\frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}\,g\tan\alpha .\] Обратите внимание: при \(m_1<m_2\) получается \(a<0\) — тела движутся в обратную сторону (цилиндр вверх по плоскости, клин вниз). Цепочка рассуждений от этого не меняется, ответ для \(N\) остаётся верным: сила \(N>0\) при любых массах.

Проверка. Размерность: \([m\,g]=\text{Н}\), \(\tan\alpha\) безразмерен. Случай \(m_1=m_2=m\): \(a=0\), тела в покое, и \(N=mg\tan\alpha\). Независимо: цилиндр в покое, сила реакции плоскости \(N_1\) наклонена от вертикали на угол \(\alpha\), из \(N_1\cos\alpha=mg\) и \(N_1\sin\alpha=N\) получаем \(N=mg\tan\alpha\). Предел \(m_2\to0\): \(N\to0\), цилиндр скользит с \(g\sin\alpha\), как свободный. Предел \(m_2\to\infty\): клин падает вдоль плоскости с \(g\sin\alpha\) и подбрасывает цилиндр вверх с тем же ускорением, \(N\to2m_1g\tan\alpha\).

Ответ: \(N=\dfrac{2m_1m_2}{m_1+m_2}\,g\tan\alpha\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.