Клин с бруском на нити

1. Силы, действующие на брусок и клин, показаны на рис. 53, причём \(|\vec T_1| = |\vec T_2| = |\vec T_3| = T\). Обозначим ускорение клина через \(a_1\). Запишем уравнения движения тел в системе координат \(xOy\):

для клина по \(Ox\) с учётом равенства реакций опоры \(|\vec N'| = |\vec N|\): \[T(1 - \cos\alpha) + N\sin\alpha = Ma_1;\qquad (1)\] для бруска по оси \(Ox\): \[T\cos\alpha - N\sin\alpha = ma_x;\qquad (2)\] для бруска по оси \(Oy\): \[mg - T\sin\alpha - N\cos\alpha = ma_y.\qquad (3)\] Здесь \(a_x\) и \(a_y\) — проекции вектора ускорения бруска на координатные оси.

Связь между ускорением клина и ускорением бруска можно установить, используя кинематические соображения. Пусть клин сместился на \(l\) влево. Тогда брусок, движущийся по клину, сместится на \(l\) вдоль наклонной плоскости и одновременно на расстояние \(l\) влево вместе с клином. Отсюда получим: \[a_x = a_1(1 - \cos\alpha)\text{ и }a_y = a_1\sin\alpha.\] Тогда система уравнений (1)–(3) примет вид: \[\left.\begin{aligned} T(1 - \cos\alpha) + N\sin\alpha &= Ma_1,\\ T\cos\alpha - N\sin\alpha &= ma_1(1 - \cos\alpha),\\ mg - T\sin\alpha - N\cos\alpha &= ma_1\sin\alpha, \end{aligned}\right\}\qquad (4)\] откуда \[a_1 = \dfrac{mg\sin\alpha}{M + 2m(1 - \cos\alpha)}.\] 2. Рассмотренное движение возможно, если \(N > 0\). Находя \(N\) из уравнений (4), получим условие: \[\dfrac{M}{m} > \dfrac{(1 - \cos\alpha)^2}{\cos\alpha}.\]