Леголас и камни Гимли

Отталкивание короткое, поэтому импульс системы «камень — Леголас» сохраняется. Относительная скорость отталкивания задана условием. Высоты после каждого отталкивания образуют рекуррентную последовательность.

Скорость, с которой Леголас отталкивается от земли, \(u_0 = \sqrt{2gh_0}\).

Пусть Леголас отталкивается от \((i+1)\)-го камня на высоте \(h_i\). Скорость камня на этой высоте \(V = \sqrt{2g(H-h_i)}\). Поскольку отталкивание быстро, импульс системы сохраняется: \(MV = MV' - mu\), где \(m\) и \(M\) — массы Леголаса и камня, \(u\) — скорость Леголаса после прыжка, \(V'\) — новая скорость камня. По условию скорость отталкивания относительно любой поверхности одна и та же: \(u + V' = u_0\). Отсюда \[u = \frac{u_0 - V}{1 + m/M}, \qquad \Delta h_i = \frac{u^2}{2g} .\] Высота после отталкивания: \[h_{i+1} = h_i + \frac{h_0 - 2\sqrt{h_0(H-h_i)} + (H - h_i)}{(1+m/M)^2} .\] При \(m/M = 0{,}1\) получаем \(h_1 \approx 9{,}83\) м, \(h_2 \approx 11{,}05\) м, \(h_3 \approx 13{,}18\) м. Значит, чтобы Леголас оказался на высоте \(H = 13\) м, Гимли придётся сбросить три камня.