Теплоёмкость системы с поршнями

Теплоёмкость — это отношение подведённого тепла к изменению температуры. Тепло распределяется между жидкостью и газом; для газа используйте первое начало термодинамики и уравнение состояния, связывая изменения высот поршней условием несжимаемости жидкости.

Пусть системе передано малое тепло \(\Delta Q\), температура возрастает на \(\Delta T\). Тепло распределяется так, что равновесие сохраняется: жидкости достаётся \(C_{\text{ж}}\Delta T\), газу — остальное: \(\Delta Q_{\text{г}} = \Delta A + \Delta U\), где \(\Delta U = \tfrac{3}{2}\nu R\Delta T\). Давление газа \(p = p_0 + \rho g(h_1 - h_2)\), работа газа \(\Delta A = pS_2\Delta h_2\).

Из уравнения состояния \(pV = \nu RT\) с учётом изменения высот поршней (несжимаемость жидкости даёт \(S_1\Delta h_1 = S_2\Delta h_2\)): \[\rho g(\Delta h_1 - \Delta h_2)S_2h_2 + pS_2\Delta h_2 = \nu R\Delta T .\] Подставляя \(\Delta h_1 = \dfrac{S_2}{S_1}\Delta h_2\) и выражая \(\Delta h_2\) через \(\Delta T\), получаем \[\Delta A = \frac{p\,\nu R\,\Delta T}{p + \rho g h_2\left(\dfrac{S_2}{S_1} - 1\right)} ,\] откуда и следует ответ, так как \(p + \rho g h_2\left(\dfrac{S_2}{S_1}-1\right) = p_0 + \rho g\left[h_1 + \left(\dfrac{S_2}{S_1}-2\right)h_2\right]\).