Вращающаяся решётка в магнитном поле

В каждой ячейке ЭДС индукции определяется скоростью изменения потока. Токи в ячейках связаны законами Кирхгофа; симметрия решётки уменьшает число неизвестных.

Жюри признало ошибку в условии: решение в общем виде (для произвольного \(n\)) не получается в замкнутом виде, и официального ответа на второй вопрос нет. Ниже — частичное решение, которое оценивалось из \(10\) баллов (для чётного \(n\)).

Рассмотрим одну ячейку. По закону Фарадея ЭДС индукции равна \(\varepsilon(t) = -\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -BS\omega\cos\omega t\), где \(\Phi(t) = BS\sin\omega t\). Вводим контурные токи в ячейках; реальный ток по ребру равен разности контурных токов соседних ячеек либо совпадает с одним из них на границе решётки. По симметрии достаточно рассмотреть четверть решётки, содержащую \(m = n^2/2\) ячеек. Линейность системы даёт \(I_k = \alpha_k\,\varepsilon(t)/R\), где безразмерные коэффициенты \(\alpha_k\) находятся из системы уравнений Кирхгофа, например \[4\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_{n+1} = 1, \quad \ldots\] Для \(n = 2\) получаем \(\alpha_1 = \tfrac{3}{5}\), \(\alpha_2 = \tfrac{4}{5}\); для \(n = 4\) — \(\alpha_k\) даны в официальном решении (ответы \(\alpha_k = \tfrac{2099}{2245}, \ldots\)).

Мощность \(P = I^2R\) суммируется по всем рёбрам, \(P_{\text{общ}}(t) = N_n\dfrac{B^2S^2\omega^2}{R}\cos^2\omega t\), где \(N_n\) — безразмерный коэффициент, получаемый из системы \(m\times m\). Тепло за период \[Q = N_n\frac{B^2S^2\omega^2}{2R}\int_0^T (1 + \cos 2\omega t)\,dt = N_n\,\frac{\pi B^2S^2\omega}{R} .\]