Заряженная бусинка на стержне

Запишите теорему о кинетической энергии. Работа силы трения зависит от реакции стержня, а та линейна по массе и заряду бусинки: результат удобно записать через отношение \(q/m\).

Запишем теорему о кинетической энергии для бусинки массы \(m\) и заряда \(q\). На неё действуют сила реакции (работы не совершает), сила тяжести, сила Кулона со стороны гвоздика и сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu N\): \[\frac{mv^2}{2} = A_{\text{т}} + A_{\text{К}} + A_{\text{тр}}, \qquad A_{\text{т}} = -mg\,\Delta h, \qquad A_{\text{К}} = -q\,\Delta\varphi ,\] где \(\Delta h\) и \(\Delta\varphi\) — изменения высоты и потенциала гвоздика на пути бусинки. Сила реакции стержня \(N = mg\cos\alpha + \dfrac{kqQ}{l^2}\cos\beta\) линейна по \(m\) и \(q\), поэтому работа силы трения имеет вид \(A_{\text{тр}} = mC_1 + qC_2\), где \(C_1\) и \(C_2\) зависят только от геометрии. Тогда \[v^2 = \tilde C_1 + \frac{q}{m}\,\tilde C_2 ,\] с константами \(\tilde C_1\), \(\tilde C_2\), не зависящими от \(m\) и \(q\).

По данным опытов: \(v_1^2 = \tilde C_1 + \dfrac{q}{m}\tilde C_2\), \(v_2^2 = \tilde C_1 + \dfrac{2q}{m}\tilde C_2\). Отсюда \(\dfrac{q}{m}\tilde C_2 = v_2^2 - v_1^2\) и \(\tilde C_1 = 2v_1^2 - v_2^2\). Для бусинки массы \(3m\) с зарядом \(q\): \[v_3^2 = \tilde C_1 + \frac{q}{3m}\tilde C_2 = 2v_1^2 - v_2^2 + \frac{v_2^2 - v_1^2}{3} = \frac{5v_1^2 - 2v_2^2}{3} .\]