Ползунок со стержнем и грузом

Стержень нерастяжим: это даёт связь между ускорениями груза и ползунка, которую удобно получить, дважды продифференцировав условие постоянства длины стержня.

Силы на ползунок: сила от стержня величины \(T\) вдоль стержня, сила трения и нормальная реакция рельса. Уравнения движения ползунка по горизонтали и вертикали: \[Ma_x = T\sin\varphi - F_{\text{тр}}, \qquad N = T\cos\varphi + Mg .\] Для груза по осям вдоль стержня и перпендикулярно ему: \[m a_n = T - mg\cos\varphi, \qquad m a_\tau = mg\sin\varphi ,\] так что \(a_\tau = g\sin\varphi\). Условие постоянства длины стержня, продифференцированное дважды по времени, даёт (с учётом выбранных направлений ускорений) \[a_n + a_x\sin\varphi = \frac{v^2}{l} .\] Скорость груза найдём по закону сохранения энергии: \(\dfrac{mv^2}{2} = mgl\cos\varphi\), так что \(\dfrac{v^2}{l} = 2g\cos\varphi\), и \[a_n + a_x\sin\varphi = 2g\cos\varphi .\]

Случай 1: ползунок неподвижен (\(a_x = 0\)). Тогда \(T = 3mg\cos\varphi\), \(a_n = 2g\cos\varphi\), а трение покоя \(F_{\text{тр}} = \tfrac{3}{2}mg\sin 2\varphi\). Условие того, что трение не превышает \(\mu N\), даёт \[\mu \geqslant \frac{\frac{3}{2}\frac{m}{M}\sin 2\varphi}{1 + 3\frac{m}{M}\cos^2\varphi} .\]

Случай 2: ползунок движется (\(a_x \ne 0\)), \(F_{\text{тр}} = \mu N\). Решая систему, получаем \[a_x = \frac{3\frac{m}{M}\cos\varphi\,(\sin\varphi - \mu\cos\varphi) - \mu\sin\varphi} {1 + \frac{m}{M}\sin\varphi(\sin\varphi - \mu\cos\varphi)}\, g ,\] \[a_n = \frac{2\cos\varphi + \mu\sin\varphi\left(1 + \frac{m}{M}\cos^2\varphi\right) - \frac{m}{M}\sin^2\varphi\cos\varphi} {1 + \frac{m}{M}\sin\varphi(\sin\varphi - \mu\cos\varphi)}\, g .\]