Гравитация в нейтронном интерферометре

Описание явления.

Мы рассматриваем известный эксперимент с нейтронным интерферометром в идеализированном упрощенном варианте, в рамках которого обсуждается идеальные делители пучков нейтронов и нейтронные зеркала, расположенные внутри интерферометра. В этом эксперименте изучается влияние гравитации на волны де Бройля нейтронов.

Схема нейтронного интерферометра, который аналогичен оптическому интерферометру, показана на рисунке \(1a\). Нейтроны попадают в интерферометр через вход «\(IN\)», следуют по двум возможным путям и регистрируются в одном из двух выводных каналов «\(OUT_{1}\)» или «\(OUT_{2}\)». Два плеча интерферометра ограничиваю область в форме ромба, площадь которого составляет несколько квадратных сантиметров.

Нейтронные волны де Бройля (с длиной волны порядка \(10^{-10}~м\)) интерферируют так, что при горизонтальном положении интерферометра все нейтроны попадают в выходной канал «\(OUT_{1}\)». Интерферометр может поворачиваться на произвольный угол \(\varphi\) вокруг горизонтальной оси, совпадающей с направлением входного пучка (рис. \(1б\)). При повороте интерферометра наблюдается перераспределение нейтронов между выходными каналами «\(OUT_{1}\)» и «\(OUT_{2}\)», которое периодически зависит от угла поворота \(\varphi\).

Геометрия опыта.

При \(\varphi=0\) плоскость интерферометра расположена горизонтально; при \(\varphi=90^{\circ}\) эта плоскость вертикальна и выходы расположены над осью поворота.

1.1. Чему равна площадь ромба \(A\), ограниченного плечами интерферометра?

1.2. Чему равна высота \(H\) выходного канала «\(OUT_{1}\)» над горизонтальной плоскостью, содержащей ось вращения?

Выразите \(A\) и \(H\) через величины \(a\), \(\theta\) и \(\varphi\).

Относительная оптическая длина дуги.

Относительная оптическая \(N_{опт}\) (число) определяется как отношение геометрической длины пути (расстояния) к длине волны \(\lambda\). Если \(\lambda\) изменяется вдоль по пути, то \(N_{опт}\) получается интегрированием величины \(\lambda^{-1}\) по пути.

1.3. Найдите разность \(\Delta N_{опт}\) относительных оптических длин путей плеч интерферометра при его повороте на угол \(\varphi\). Выразите ответ через величины \(a\), \(\theta\) и \(\varphi\), массу нейтрона \(M\), де-бройлевскую длину волны нейтронов \(\lambda_0\), ускорение свободного падения \(g\) и постоянную Планка \(h\).

1.4. Введите объемный параметр \[V= \frac{h^2}{gM^2}.\]

И выразите \(\Delta N_{опт}\) через величины \(A\), \(V\) \(\lambda_0\), \(\varphi\). Приведите численное значение параметра \(V\) при \(M= 1.675 \cdot 10^{-27}~кг\), \(g= 9.800~м\cdot с^{-2}\) и \(h = 6.626 \cdot 10^{-34}~Дж \cdot с\).

1.5. Сколько периодов изменения интенсивности потока нейтронов в выходном канале «\(OUT_{1}\)» — от максимальной до минимальной и обратно к максимальной — произойдет при изменении угла поворота \(\varphi\) от \(-90^{\circ}\) до \(90^{\circ}\)?

Экспериментальные данные.

В эксперименте использовался интерферометр со следующими параметрами: \(a= 3.600~см\) и \(\theta= 22.10^{\circ}\), при этом наблюдалась \(19.00\) полных периодов изменения интенсивности при изменении угла поворота в указанных выше пределах.

1.6. Чему равнялась величина \(\lambda_{0}\) в этом эксперименте?

1.7. В другом аналогичном эксперименте с использованием нейтронов с де-бройлевской длиной волны \(\lambda_{0} = 0.2000~нм\) наблюдалась \(30.00\) полных периодов. Чему равнялась площадь ромба \(A\) в этом случае?

Подсказка: если \(|ax| \ll 1\), то \((1+x)^a\) можно заменить на \(1 + ax\).