Модель подъёмного крана

Как меняется с размером прочность троса и как — вес плиты? Одно растёт как площадь, другое как объём.

Ни одной: реальный кран может нести лишь \(10/12\approx0{,}83\) веса одной плиты.

Что происходит. Трос рвётся, когда натяжение, приходящееся на единицу площади сечения, достигает предела прочности материала. Предел прочности одинаков у модели и у крана (материалы те же), значит, наибольшая сила, которую выдерживает трос, пропорциональна площади его сечения. Вес плиты пропорционален её объёму. При увеличении всех размеров в \(k\) раз площадь растёт в \(k^2\) раз, объём — в \(k^3\) раз: груз растёт быстрее, чем прочность.

Обозначения. Величины модели — с индексом \(0\), крана — без индекса. \(S\) — площадь сечения троса, \(d\) — его диаметр, \(a\) — ребро плиты, \(\sigma\) — предел прочности материала троса, \(\rho\) — плотность бетона, \(k=12\) — во сколько раз увеличены все линейные размеры, \(n\) — число плит.

1. Наибольшая нагрузка на трос. Пока плиты висят неподвижно, натяжение троса равно весу груза. Сила натяжения равномерно распределена по сечению, и трос обрывается при \(T=\sigma S\). Для модели с \(N=10\) плитами этот предел достигнут: \[\sigma S_0=N P_0,\qquad P_0=\rho g a_0^3 .\] Для крана с тем же \(\sigma\) наибольшее натяжение равно \(\sigma S\).

2. Как меняются площадь и вес. Диаметр троса и ребро плиты увеличены в \(k\) раз: \[S=k^2S_0,\qquad P=\rho g (ka_0)^3=k^3P_0 .\]

3. Сколько плит. Трос крана выдержит \(n\) плит, пока \(nP\le \sigma S\). Отсюда наибольшее число плит \[n_{\max}=\frac{\sigma S}{P}=\frac{k^2\sigma S_0}{k^3P_0}=\frac{N}{k}.\] Подставим числа: \(n_{\max}=\dfrac{10}{12}\approx0{,}83<1\).

Обратите внимание: число плит должно быть целым, поэтому ответ — «ни одной»: трос не выдержит даже одной плиты. Собственный вес троса и стрелы, которым мы пренебрегли, растёт как \(k^3\) и делает положение крана ещё хуже.

Ответ. \(n_{\max}=\dfrac{N}{k}=\dfrac{10}{12}\approx0{,}83\), то есть реальный кран не поднимет ни одной плиты.

Проверка. Размерность: \(\sigma S\) — сила, \(P\) — сила, \(n\) безразмерно. При \(k=1\) получаем \(n=N=10\), как в модели. График \(n(k)=10/k\) пересекает уровень \(n=1\) при \(k=10\): кран, увеличенный меньше чем в 10 раз, хотя бы одну плиту поднимет, а при \(k=12\) — нет. Физический смысл: большие конструкции из того же материала относительно слабее, поэтому у слона толстые ноги.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.