Часы на льдинах

Скорость конца стрелки относительно Земли — сумма скорости льдины и скорости конца стрелки относительно циферблата. Сколько существует способов повернуть часы, чтобы векторы сошлись?

Льдины проходят за сутки примерно 128 м (скорость льдины \(\approx0{,}15\text{ см/с}\)).

Что происходит. Льдина движется поступательно, часы лежат на ней и не поворачиваются относительно неё. Поэтому скорость конца секундной стрелки относительно Земли — сумма двух скоростей: самой льдины и конца стрелки относительно циферблата. Вторая по модулю всегда равна \(w=\omega l\), а её направление зависит от того, как часы повёрнуты вокруг вертикали. Главная идея: равенство скоростей концов стрелок — векторное уравнение; «расположение единственно» означает, что у этого уравнения ровно одно решение.

Обозначения. \(u\) — модуль скорости каждой льдины, \(\vec u_1\) — скорость льдины, идущей на север, \(\vec u_2\) — идущей на запад. Секундная стрелка делает оборот за \(T=60\text{ с}\), поэтому её угловая скорость \(\omega=2\pi/T\), а конец стрелки длиной \(l=1\text{ см}\) движется относительно циферблата со скоростью \(w=\omega l\). \(\vec n_1\), \(\vec n_2\) — единичные векторы вдоль этой скорости на первой и второй льдине: поворачивая часы вокруг вертикали (циферблат горизонтален), можно направить каждый из них как угодно.

1. Скорость конца стрелки относительно Земли. По закону сложения скоростей для конца стрелки на каждой льдине \[\vec v_1=\vec u_1+w\vec n_1,\qquad \vec v_2=\vec u_2+w\vec n_2 .\]

2. Условие равенства. Приравняем \(\vec v_1=\vec v_2\) и соберём неизвестные векторы \(\vec n_1,\vec n_2\) в одной части: \[\vec n_2-\vec n_1=\vec D,\qquad \vec D=\frac{\vec u_1-\vec u_2}{w}.\] Векторы \(\vec u_1\) и \(\vec u_2\) перпендикулярны и равны по модулю, поэтому \(|\vec u_1-\vec u_2|=\sqrt2\,u\) и \(D=\dfrac{\sqrt2\,u}{w}\).

3. Сколько решений у уравнения. Нужно найти единичные векторы \(\vec n_1\) и \(\vec n_2=\vec n_1+\vec D\). Отложим \(\vec n_1\) от точки \(O\): его конец лежит на окружности радиуса 1 с центром в \(O\). Условие \(|\vec n_1+\vec D|=1\) говорит, что тот же конец лежит на окружности радиуса 1 с центром в точке \(O'\), где \(\overrightarrow{O'O}=\vec D\). Две равные окружности с центрами на расстоянии \(D\) имеют две общие точки при \(D<2\), одну при \(D=2\) и ни одной при \(D>2\).

Обратите внимание: при \(D<2\) расположений два, а не одно, а при \(D>2\) часы вообще нельзя расставить так, чтобы скорости сошлись. Единственность возможна лишь при касании окружностей: \(D=2\) и \(\vec n_2=-\vec n_1\), то есть скорости концов стрелок относительно циферблатов противоположны.

4. Скорость льдины. Из \(D=2\) получаем \(\sqrt2\,u=2w\), откуда \(u=\sqrt2\,w\). Этот случай показан на диаграмме скоростей: скорость конца стрелки относительно Земли \(\overrightarrow{OP}\) одна и та же для обеих льдин, а разность скоростей льдин \(\overrightarrow{BA}=\vec u_1-\vec u_2\) точкой \(P\) делится пополам на два вектора \(w\vec n_1\) и \(w\vec n_2\).

Проверка по диаграмме: катеты \(OA=OB=u=\sqrt2\,w\), гипотенуза \(AB=\sqrt2\,u=2w\) делится точкой \(P\) пополам, а \(OP\) — медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе: \(OP=AB/2=w\). Концы стрелок движутся относительно Земли со скоростью \(w\) на северо-запад.

5. Путь за сутки. Время \(t=24\cdot3600\text{ с}=86400\text{ с}\), льдины движутся равномерно: \[S=ut=\sqrt2\,\omega l\,t=\sqrt2\cdot\frac{2\pi l}{T}\,t .\] Подставим числа: \(w=\dfrac{2\pi\cdot1\text{ см}}{60\text{ с}}\approx0{,}105\text{ см/с}\), \(u=\sqrt2\,w\approx0{,}148\text{ см/с}\), \[S\approx0{,}148\text{ см/с}\cdot86400\text{ с}\approx1{,}28\cdot10^{4}\text{ см}\approx128\text{ м}.\]

Ответ. \(S=\dfrac{2\sqrt2\,\pi\,l\,t}{T}\approx128\text{ м}\) за сутки.

Проверка. Размерность: \(l\,t/T\) — сантиметры. Предел: при \(u\to0\) льдины стоят, \(D\to0\), и \(\vec n_1=\vec n_2\) при любой общей ориентации: расположений бесконечно много, единственности нет; чтобы она появилась, льдины должны двигаться со скоростью ровно \(\sqrt2\,w\). При большей скорости часы расставить нельзя: различие скоростей льдин, равное \(\sqrt2\,u\), тогда больше предельно возможного для стрелок \(2w\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.