Кубик на наклонной плоскости

Измерьте расстояния между положениями кубика и найдите по ним ускорение. Проверьте, в какую сторону оно направлено: вниз кубик мог бы разгоняться не быстрее, чем \(g\sin\alpha\).

Кубик движется вверх по плоскости и замедляется: \(a\approx8{,}5\text{ м/с}^2\), угол плоскости \(\alpha\approx38^\circ\), коэффициент трения \(\mu\approx0{,}3\).

Что происходит. Вспышки идут через равные промежутки \(T=0{,}1\text{ с}\), поэтому при постоянном ускорении пути за соседние промежутки отличаются на одну и ту же величину \(aT^2\). Расстояния между положениями измеряем по масштабной линейке рисунка, ускорение находим по их разности, а коэффициент трения — из второго закона Ньютона вдоль плоскости. Сначала нужно понять, вверх или вниз движется кубик: рисунок направления не показывает.

Обозначения. \(s_1,\dots,s_4\) — расстояния между соседними положениями кубика (центрами), \(\alpha\) — угол плоскости, \(a\) — модуль ускорения, \(\mu\) — коэффициент трения, \(g=9{,}8\text{ м/с}^2\).

1. Измерения. Масштабная линейка длиной \(0{,}5\text{ м}\) разделена на 5 частей по \(0{,}1\text{ м}\). По ней расстояния между положениями кубика, считая снизу вверх: \[s_1\approx4{,}6\text{ дм},\quad s_2\approx3{,}7\text{ дм},\quad s_3\approx2{,}9\text{ дм},\quad s_4\approx2{,}0\text{ дм}.\] Высота плоскости относительно её основания даёт \(\operatorname{tg}\alpha\approx0{,}78\), то есть \(\alpha\approx38^\circ\), \(\sin\alpha\approx0{,}62\), \(\cos\alpha\approx0{,}79\).

2. Движется ли кубик вверх или вниз. Каждое следующее расстояние (снизу вверх) меньше предыдущего: \(s_1-s_2\approx0{,}9\text{ дм}\), \(s_2-s_3\approx0{,}8\text{ дм}\), \(s_3-s_4\approx0{,}9\text{ дм}\), то есть \(aT^2\approx0{,}9\text{ дм}\), то есть \(a\approx9\text{ м/с}^2\). Если бы кубик скользил вниз (сверху вниз расстояния растут), он разгонялся бы, и его ускорение не превышало бы \(g\sin\alpha\approx6{,}0\text{ м/с}^2\) (это при отсутствии трения). Измеренное ускорение больше, значит, вниз кубик двигаться не мог. Остаётся движение вверх по плоскости с замедлением.

Обратите внимание: на рисунке по одним положениям нельзя сказать, куда движется кубик. Направление выбирается проверкой возможного ускорения, а не «по виду».

3. Ускорение. Пути за соседние промежутки времени отличаются на \(aT^2\). Возьмём первые два промежутка и последние два, их разность равна \(a(2T)^2\): \[a=\frac{(s_1+s_2)-(s_3+s_4)}{(2T)^2}=\frac{(8{,}3-4{,}9)\cdot10^{-1}\text{ м}}{4\cdot(0{,}1\text{ с})^2}\approx8{,}5\text{ м/с}^2 .\] Вычисление по разности двух сумм сглаживает погрешность отдельных замеров.

4. Второй закон Ньютона для кубика. Ось \(x\) направим вдоль плоскости вверх, ось \(y\) — по нормали к плоскости. На кубик действуют сила тяжести \(m\vec g\), нормальная реакция \(\vec N\) и сила трения скольжения \(\vec F_{\text{тр}}\), направленная против скорости, то есть вниз вдоль плоскости.

В проекции на \(y\) ускорения нет (кубик не отрывается от плоскости и не проваливается): \(N-mg\cos\alpha=0\). В проекции на \(x\) (скорость вверх, ускорение направлено вниз по плоскости, его проекция \(-a\)): \[-ma=-mg\sin\alpha-\mu N,\qquad N=mg\cos\alpha .\] Формула \(F_{\text{тр}}=\mu N\) годится, потому что кубик скользит по плоскости.

5. Коэффициент трения. Масса сокращается: \[a=g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)\ \Rightarrow\ \mu=\frac{a-g\sin\alpha}{g\cos\alpha}.\] Подставим числа: \(g\sin\alpha\approx6{,}0\text{ м/с}^2\), \(g\cos\alpha\approx7{,}7\text{ м/с}^2\), \[\mu\approx\frac{8{,}5-6{,}0}{7{,}7}\approx0{,}32 .\]

Ответ. \(\mu=\dfrac{a-g\sin\alpha}{g\cos\alpha}\approx0{,}3\); кубик движется вверх по плоскости с замедлением \(a\approx8{,}5\text{ м/с}^2\).

Проверка. Размерность: \(a\) и \(g\) в \(\text{м/с}^2\), \(\mu\) безразмерен. Предел: при \(\mu=0\) получаем \(a=g\sin\alpha\approx6{,}0\text{ м/с}^2\), как для гладкой плоскости; измеренное \(a\) больше, значит, трение есть. Второй способ: скорость в середине первого промежутка \(s_1/T\approx4{,}6\text{ м/с}\), начальная скорость \(v_0\approx4{,}6+8{,}5\cdot0{,}05\approx5{,}0\text{ м/с}\); за \(0{,}4\text{ с}\) кубик пройдёт \(v_0\cdot0{,}4-\dfrac{a\cdot0{,}4^2}{2}\approx2{,}0-0{,}68\approx1{,}3\text{ м}\) — это в пределах точности и есть сумма \(s_1+\dots+s_4\approx13{,}2\text{ дм}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.