Гантель

При мгновенном упругом ударе одинаковых шаров они обмениваются скоростями, а потом гантель колеблется около равномерно движущегося центра масс. Чтобы четвёртый шар получил всю скорость, при подлёте к нему гантель должна оказаться в той же фазе колебаний, что и сразу после удара.

1) \(v/2\);  2) \(L=\pi v\left(n+\dfrac12\right)\sqrt{m/2k}\), \(n=0,1,2,\dots\)

1) При первом столкновении действием пружины можно пренебречь: за время удара шары почти не смещаются, поэтому пружина не деформируется. Два абсолютно упругих одинаковых шара при центральном ударе обмениваются скоростями. Значит, первый шар гантели остаётся в покое, а второй получает скорость \(v\). Следовательно, скорость центра масс гантели равна \(v/2\).

2) После удара гантель будет колебаться в системе отсчёта своего центра масс с циклической частотой \(\omega=\sqrt{2k/m}\) (шары колеблются так, что середина пружины покоится; пружина, вдвое более короткая, имеет вдвое большую жёсткость).

В силу закона сохранения энергии четвёртый шар может получить скорость \(v\) только так, чтобы после взаимодействия все остальные шары остались в полном покое. Поэтому перед ударом третьего шара о четвёртый третий шар должен иметь скорость \(v\) (а второй шар — покоиться). Это фаза, противоположная той, с которой гантель начала своё движение. Следовательно, время движения гантели должно быть полуцелым кратным периода \(T=2\pi\sqrt{m/2k}\). В этой фазе колебаний пружина снова не деформирована, т. е. путь центра масс тоже равен \(L\). Итак, \(2L/v=T\left(n+\tfrac12\right)\), откуда \[L=\pi v\left(n+\frac12\right)\sqrt{m/2k}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.