Самолёты

Отложите от одной точки векторы \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\): конец вектора ветра лежит на геометрическом месте точек, равноудалённых (или удалённых в заданном отношении) от их концов.

1) \(\dfrac12\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\alpha}\);  2) \(\dfrac{|v_1^2-v_2^2|}{2\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\alpha}}\);  3) \(\dfrac{\sqrt{17-8\cos\alpha}-4\sin\frac\alpha2}{3}\,v\).

i) Пусть \(\vec w\) — скорость ветра на высоте самолётов, а \(\vec u_1\) и \(\vec u_2\) — скорости самолётов в отсутствие ветра соответственно. \(\vec v_1=\vec w+\vec u_1\), \(\vec v_2=\vec w+\vec u_2\). Пусть \(O'\) — такая точка, что \(\overrightarrow{OO'}=\vec w\), \(A\) — такая точка, что \(\overrightarrow{OA}=\vec v_1\), и \(B\) — такая точка, что \(\overrightarrow{OB}=\vec v_2\).

Так как \(|\vec w-\vec v_1|=|\vec w-\vec v_2|\), мы знаем, что \(O'\) лежит на серединном перпендикуляре к \((AB)\), который обозначим \(l\). Простая проверка показывает, что все точки этой прямой являются допустимым выбором для \(\vec w\). \(|\vec u_1|=|AO'|\). Минимальную воздушную скорость можно найти как длину перпендикуляра из \(A\) на \(l\), равную \(|AB|/2\). В векторном виде через \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\): \[|\vec u_1|_{\min}=|\vec v_1-\vec v_2|/2=\frac12\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\alpha}.\]

ii) Минимальная скорость ветра равна длине перпендикуляра из \(O\) на \(l\). Это длина проекции \((\vec v_1+\vec v_2)/2\) на \(\vec v_1-\vec v_2\), и её можно найти так: \[|\vec w|_{\min}=\frac{|(\vec v_1+\vec v_2)\cdot(\vec v_1-\vec v_2)|}{2|\vec v_1-\vec v_2|}=\frac{\bigl||\vec v_1|^2-|\vec v_2|^2\bigr|}{2|\vec v_1-\vec v_2|}=\frac{|v_1^2-v_2^2|}{2\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\alpha}}.\]

iii) В этом случае \(|\vec w-\vec v_1|=2|\vec w-\vec v_2|\), поэтому \(O'\) лежит на окружности Аполлония относительно точек \(A\) и \(B\), такой, что точки окружности вдвое ближе к \(B\), чем к \(A\). Пусть её центр — \(O''\). Её радиус \(R_A=2|\vec v_1-\vec v_2|/3\) (его можно найти, рассматривая точки пересечения окружности Аполлония с прямой \(AB\)). Нужно найти кратчайшее расстояние от \(O\) до этой окружности, которое равно \(|OO''|-R_A\). Заметим, что \(\overrightarrow{OO''}=(4/3)\vec v_2-(1/3)\vec v_1\). Минимальная скорость ветра тогда \[|\vec w|_{\min}=\left|\frac43\vec v_2-\frac13\vec v_1\right|-\frac23|\vec v_2-\vec v_1|=\frac{\sqrt{17-8\cos\alpha}-4\sin\frac\alpha2}{3}\,v.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.