Липкий шар

Сила определяется разностью давлений Лапласа в мениске, действующей на круг радиуса шейки; радиус кривизны мениска связан с радиусом шейки теоремой о секущих.

\(\Delta F\approx4\pi\sigma R\).

Решение 1. Пусть радиус шейки \(\rho\ll R\); тогда сила поверхностного натяжения в месте контакта с шаром пренебрежимо мала (угол к горизонтали \(\approx0\)). Тогда радиус кривизны мениска \(r\ll\rho\) можно найти из теоремы о пересекающихся секущих, применённой к точке \(C\) на нижнем краю шейки относительно шара, и приближения, что точка \(T\) (почти) является точкой пересечения \(CD\) с окружностью: \(2r\cdot2R\approx\rho^2\).

На рисунке \(AC^2\approx CT\cdot CD\), причём мы приближённо считаем \(CT\) равным \(2r\), \(R+r\) равным \(R\), а \(AC\) равным \(\rho\). Разность давлений между водой и окружающим воздухом равна \(\Delta p=\sigma/r\). Её полная вертикальная составляющая равна её величине, умноженной на вертикальное сечение \(S=\pi\rho^2\). Поэтому полная разность вертикальных сил, действующих на шар в двух случаях (с водой и без неё), равна \(\Delta F\approx\sigma\pi\rho^2/r=4\pi\sigma R\).

Решение 2 (Eppu Leinonen). Положение мениска можно параметризовать углом \(\theta\ne\angle TOA\). Мениск мал, так как мало количество воды. Поэтому \(|\theta|\ll1\), и радиусы можно приближённо записать как \(\rho=R\sin\theta\approx R\theta\) и \(2r\approx R(1-\cos\theta)\approx R\theta^2/2\). Изменение силы нормального давления из-за поверхностного натяжения \(\Delta F_\sigma=2\pi\sigma\rho\sin\theta\approx2\pi\sigma R\theta^2\approx0\). По уравнению Юнга — Лапласа \(\Delta p=\sigma(1/\rho-1/r)\approx\sigma(1/\theta-4/\theta^2)\). Поэтому полное изменение силы нормального давления из-за разности давлений \(\Delta F_p=-S\Delta p=-\pi\rho^2\Delta p\approx\pi\sigma R(4-\theta)\approx4\pi\sigma R\). То есть \(\Delta F=\Delta F_p+\Delta F_\sigma\approx\Delta F_p\approx4\pi\sigma R\).

Замечание. Распространённый подход — использовать метод виртуальных перемещений для силы, вызванной мениском. Однако оказывается, что \(\delta A_{lg}\propto\sqrt r\,\delta r\) (площадь границы мениск — воздух примерно равна половине сферического тора с радиусами \(\rho\) и \(r\)), что означает пренебрежимо малое изменение потенциальной энергии из-за изменения площади поверхности (\(r\ll R\)). Таким образом, виртуальная работа, совершаемая при подъёме шара, лишь компенсирует виртуальную работу сил давления, что сводит задачу обратно к решению 1 или решению 2.

Решение 3 методом виртуальных перемещений (Jaan Kalda). Обозначим площадь контакта воды и пластины \(A=\pi\rho^2\); тогда площадь контакта воды и шара тоже приближённо равна \(A\). Пусть шар сначала касается пластины, а затем приподнимается на \(dx\). Так как объём воды сохраняется, работа атмосферного давления равна нулю, и \(2r\,dA=A\,dx\), где \(dA\) — изменение площади контакта; следовательно, \(\dfrac{dA}{dx}=A/2r\). Между тем при нулевом краевом угле разность поверхностных энергий на границах воздух — твёрдое тело и вода — твёрдое тело равна поверхностной энергии границы вода — воздух. Этот факт можно выразить через три коэффициента поверхностного натяжения, обозначаемые \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) и \(\sigma\) соответственно: \(\sigma_1-\sigma_2=\sigma\cos\alpha=\sigma\). При нашем виртуальном перемещении граница воздух — вода остаётся почти неизменной, а граница воздух — твёрдое тело увеличивается на \(2\,dA\) (поровну за счёт поверхностей шара и пластины). Поэтому поверхностная энергия возрастает на \(dU=(\sigma_1-\sigma_2)\,2\,dA=2\sigma\,dA\). Теперь силу можно найти как \(F=\dfrac{dU}{dx}=2\sigma\dfrac{dA}{dx}=\sigma A/r\). Это то же выражение, которое мы получили из уравнения Юнга — Лапласа. Дальше решение идёт теми же шагами, что и выше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.