Подъём током

Сила Ампера перпендикулярна проводу в каждой точке, поэтому натяжение провода постоянно, а радиус кривизны \(R=T/(IB)\) тоже постоянен: каждая половина провода — дуга окружности. Вертикальная сила в точке крепления груза уравновешивает его вес.

ii. \(\Delta h_{\max}=l\left(1-\dfrac2\pi\right)\);  iii. \(\alpha\dfrac{mg}{lIB}=\cos\alpha\), \(\Delta h=l\left(1-\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)\);  iv. \(I_0=\dfrac{\pi mg}{3\sqrt3\,lB}\).

i. Сила Ампера тянет провода в сторону, так что провода принимают изогнутую форму. Поскольку сила Ампера перпендикулярна проводу, механическое натяжение вдоль проводов постоянно. Пусть натяжение равно \(T\), а кривизна провода в некоторой точке — \(R\) (радиус кривизны). Рассмотрим короткий кусок провода длиной \(a\ll R\). Тогда угол, на который поворачивается касательная к проводу при перемещении точки касания по дуге длиной \(a\), равен \(\alpha=a/R\). Изучим баланс сил в перпендикулярном направлении для этого куска провода: сила Ампера \(IaB\) уравновешивается натяжением \(T\alpha=Ta/R\). Значит, \(R=T/(IB)\), то есть \(R\) постоянен, и провод принимает форму дуги окружности. Итак, обе половины провода принимают форму дуг окружности, выпуклыми сторонами обращённых наружу.

ii. Максимальная высота достигается, когда дуги окружностей образуют полную окружность; в этом случае высота подъёма равна \(\Delta h=l\left(1-\dfrac2\pi\right)\).

iii. Если центральный угол дуг равен \(2\alpha\), то касательные к проводам в точке крепления груза образуют угол \(\alpha\) с вертикалью. Значит, подъёмная сила: \(mg=2T\cos\alpha\). С другой стороны, \(R=l/2\alpha=T/IB\), то есть \[\alpha\frac{mg}{lIB}=\cos\alpha,\] и это уравнение, из которого можно определить угол \(\alpha\). Тогда высота подъёма \[\Delta h=l-2R\sin\alpha=l-\frac{2T}{IB}\sin\alpha=l\left(1-\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right).\]

iv. Из предыдущего результата видно, что нужно, чтобы \(\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}=\dfrac3\pi\), откуда \(\alpha=\dfrac\pi6\) и \[I=\frac{mg\alpha}{lB\cos\alpha}=\frac{mg\pi}{3\sqrt3\,lB}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.