Перекладины и стержень

Стержень находится под действием трёх сил: тяжести и двух сил от перекладин, каждая из которых отклонена от нормали на угол трения \(\arctan\mu\). Для равновесия линии действия трёх сил должны пересекаться в одной точке.

\(L=(11{,}5+2\sqrt3)\,d\approx14{,}96\,d\).

При \(\mu=\frac12\) равнодействующая силы нормальной реакции и силы трения образует с нормалью к поверхности угол \(\arctan\frac12\) (в предположении, что стержень имеет наименьшую возможную длину и потому находится на пороге проскальзывания). На стержень действуют три силы — сила тяжести \(mg\), приложенная к центру масс \(C\), и две силы со стороны перекладин. В равновесии три прямые \(s_1\), \(s_2\) и \(s_3\), определяемые этими тремя силами, должны пересекаться в одной точке \(Q\) (иначе относительно точки пересечения двух прямых момент третьей силы вызвал бы вращение стержня). Эта конфигурация изображена на рисунке.

Так как сила трения образует с нормалью к поверхности угол \(\arctan\frac12\), то \(\angle DPQ=\angle DRQ=\arctan2\), а значит, \(AP=RS=\frac14d\) (см. рисунок). Из геометрии синего треугольника \(AS=2\sqrt3\,d\); в силу \(AP=RS\) получаем \(PR=AS=2\sqrt3\,d\) и \(PD=\sqrt3\,d\). Вспомним теперь, что \(\tan\angle DPQ=2\), откуда \(DQ=PR=2\sqrt3\,d\). Из геометрии синего треугольника \(\angle DCQ=30^\circ\), так что \(DC=DQ/\tan30^\circ=6d\). Теперь можно, наконец, выразить \[AC=CD+DP-PA=5\tfrac34\,d+\sqrt3\,d\ \Rightarrow\] \[L=2AC=(11{,}5+2\sqrt3)\,d\approx14{,}96\,d.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.