Сжатие насыщенного

При постоянной температуре давление не меняется, а часть пара конденсируется: тепло конденсации равно изменению внутренней энергии минус работа внешних сил. Для \(L\) используйте конечные разности в уравнении Клапейрона–Клаузиуса. При адиабатическом сжатии проверьте, остаётся ли пар насыщенным.

А. Поскольку процесс происходит при постоянной температуре, давление под поршнем в процессе сжатия не меняется. Десятая часть количества водяного пара превращается в жидкость. Работа внешних сил равна \[A_{\text{ext}}^{(T)} = 0{,}1P_{\text{нас}}V = 0{,}1\nu_0RT,\] где \(\nu_0 = 1\) моль — количество вещества в сосуде под поршнем.

Количество теплоты, выделяющееся при конденсации \(0{,}1\) моля пара, равно \[Q_{\text{cond}} = -0{,}1\nu_0\mu L .\] С другой стороны, то же самое количество теплоты равно \[Q_{\text{cond}} = \Delta U^{(T)} - A_{\text{ext}}^{(T)} .\] Из этих формул следует второй ответ \[\Delta U^{(T)} = -0{,}1\nu_0\mu L + A_{\text{ext}}^{(T)} = -0{,}1\nu_0(\mu L - RT).\]

Б. Удельная теплота парообразования может быть найдена при помощи уравнения Клапейрона–Клаузиуса. Заменив производную отношением конечных разностей, далее применяя уравнение Клапейрона для газовой фазы, имеем \[L = \frac{\Delta P}{\Delta T}\left(\frac{RT^2}{P\mu} - \frac{T}{\rho_{\text{ж}}}\right).\] Сделаем численную оценку слагаемых в скобках. Легко видеть, что второе слагаемое на 5 порядков меньше первого, так что им можно пренебречь. В итоге имеем соотношение \[L = \frac{\Delta P}{\Delta T}\cdot\frac{RT^2}{P\mu}.\] Вычисляя разность давлений для температур \(27\,^\circ\)C и \(28\,^\circ\)C, получаем ответ \[L \approx 2{,}45\cdot 10^6\text{ Дж/кг}.\]

В. Преобразуем первое начало термодинамики, используя соотношение \(\nu_0R\,dT = P\,dV + V\,dP\), следующее из уравнения Клапейрона, \[\delta Q = (c_V + R)\nu_0\,dT - V\,dP .\] Уравнение Клапейрона–Клаузиуса с учётом малости удельного объёма жидкости может быть преобразовано к виду \[\frac{dP}{dT} = \frac{mL}{TV}.\] Подставим \(dP\) из этого равенства в предыдущее соотношение. После преобразований получится формула для молярной теплоёмкости насыщенного пара \[c = \frac{\delta Q}{\nu_0\,dT} = (c_V + R) - \frac{L\mu}{T} = c_P - \frac{L\mu}{T}.\] При небольшом (по сравнению с температурой \(T\)) изменении температуры \(\Delta T\), как следует из этой формулы, количество подведённой теплоты приближённо равно \[Q = \nu_0\left(c_P - \frac{L\mu}{T}\right)\Delta T .\] Теперь следует выяснить, на сколько изменяется температура пара при уменьшении объёма одного моля пара на 10%. Это можно сделать, используя данные таблицы. Получится, что уменьшению объёма на 10% соответствует увеличение температуры на \(2\,^\circ\)C. Подставляя в формулу для \(Q\) значения \(\Delta T = 2\) K, \(T = 300\) К, \(c_P = 4R\) (водяной пар — многоатомный газ), \(L \approx 2{,}45\cdot 10^6\) Дж/кг (из предыдущего пункта), получаем для количества теплоты значение \[Q \approx -228\text{ Дж}.\] Изменение внутренней энергии равно \[\Delta U^{(\text{нас})} = \nu_0c_V\Delta T \approx 50\text{ Дж}.\] Комбинируя эти результаты, получаем из первого начала термодинамики ответ \[A_{\text{ext}}^{(\text{нас})} = \Delta U^{(\text{нас})} - Q \approx 278\text{ Дж}.\]

Г. Сначала сделаем оценку и поймём, остаётся пар насыщенным при адиабатическом уменьшении объёма или нет. Предположим, что пар становится ненасыщенным, тогда будем рассматривать его как идеальный газ. Показатель адиабаты для многоатомного газа равен \(\gamma = \dfrac43\), поэтому уравнение адиабаты для водяного пара может быть записано в виде \[P(T) = P(T_0)\,\frac{T^4}{T_0^4},\] где \(P_0 = 3{,}57\cdot 10^3\) Па, \(T_0 = 300\) К. Сделаем расчёт по этой формуле и определим давление при температуре \(28\,^\circ\)C. Получится значение \(P(301\text{ К}) \approx 3618\) Па. Это значение меньше значения давления насыщенного пара при температуре \(28\,^\circ\)C. Это означает, что с ростом температуры давление насыщенного пара растёт быстрее, чем растёт давление ненасыщенного пара в адиабатическом процессе. Таким образом, для ответа на вопросы этого пункта задачи следует определить изменение температуры ненасыщенного водяного пара как идеального газа при уменьшении объёма на 10%. Используем уравнение адиабаты в виде \(TV^{1/3} = \text{const}\). Значение температуры при уменьшении объёма на 10% равно \[T_1 = T_0\,(0{,}9)^{-1/3} \approx 310{,}7\text{ К}.\] Теперь, используя найденное значение \(T_1\), можно найти изменение внутренней энергии ненасыщенного пара \[\Delta U^{(Q)} = \nu_0\cdot 3R\,(T_1 - T_0) \approx 266\text{ Дж}.\] Работа внешних сил равна изменению внутренней энергии \[A_{\text{ext}}^{(Q)} = \Delta U^{(Q)} \approx 266\text{ Дж}.\]