Задачи › Малые колебания, период через энергию

Нелинейный шнур

  1. Нелинейный шнур

    МОШ 2023/24, 11 кл.
    5/10

    Графики зависимостей \(F(\Delta L)\) и \(W(\Delta L)\) упругой силы и энергии деформации нелинейного резинового шнура от его удлинения \(\Delta L\) изображены на рисунке, представленном ниже. Зависимости \(F(\Delta L)\) соответствует чёрная линия увеличенной толщины, при этом значения считываются с левой шкалы. Зависимости \(W(\Delta L)\) соответствует серая линия, значения считываются со шкалы справа.

    Рисунок

    Пусть один конец шнура закреплён на потолке, а к другому концу присоединён груз массой \(M\). Сначала шнур имеет форму прямой линии, не провисает, но и не деформирован, груз удерживается внешней силой. В некоторый момент времени груз освобождают. Найдите максимальное удлинение шнура \(\Delta L_{\max}\), равновесное удлинение \(\Delta L_0\), устанавливающееся спустя длительное время после начала процесса, когда колебания прекращаются, а также период \(T\) малых колебаний груза на шнуре вблизи положения равновесия для двух значений массы \(M\).

    А. (2 балла) \(M = 0{,}1\) кг;

    Б. (4 балла) \(M = 0{,}6\) кг.

    Ускорение свободного падения равно 10 м/c\(^2\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Максимум удлинения найдите из закона сохранения энергии (потерь нет): энергия деформации равна убыли потенциальной энергии груза. Равновесие — когда сила упругости равна \(Mg\). Вблизи равновесия шнур ведёт себя как пружина с жёсткостью, равной наклону касательной к \(F(\Delta L)\).

    Ответ

    А. \(\Delta L_0 \approx 0{,}05\) м, \(\Delta L_{\max} \approx 0{,}10\) м, \(T \approx 0{,}44\) с;  Б. \(\Delta L_0 \approx 0{,}4\) м, \(\Delta L_{\max} \approx 0{,}89\) м, \(T \approx 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}6}{10}} \approx 1{,}54\) с.

    Решение

    Поскольку потери энергии при падении груза малы, максимальное удлинение может быть найдено на основании закона сохранения энергии. Искомая величина в каждом случае есть решение уравнения \[W(\Delta L) = mg\,\Delta L,\] которое может быть найдено графическим способом. Сделав необходимые построения (см. график), находим значения максимального отклонения для каждого пункта. В пункте А получается значение \(\Delta L_{\max}^{(A)} \approx 0{,}10\) м, в пункте Б получается \(\Delta L_{\max}^{(\text{Б})} \approx 0{,}89\) м.

    Рисунок

    Ещё проще найти равновесное значение удлинения. Искомая величина в этом случае удовлетворяет уравнению \[F(\Delta L) = mg,\] которое легко решается графически. В результате в пунктах А и Б получается соответственно \(\Delta L_0^{(A)} \approx 0{,}05\) м и \(\Delta L_0^{(\text{Б})} \approx 0{,}4\) м.

    Для определения периода колебаний будем рассматривать груз на резинке как пружинный маятник, при этом коэффициент жёсткости пружины будем считать равным тангенсу угла наклона касательной к графику силы в положении равновесия. В пункте А жёсткость вблизи положения равновесия равна \(k^{(A)} \approx 20\) Н/м, в пункте Б \(k^{(\text{Б})} \approx 10\) Н/м. Таким образом, период малых колебаний в пункте А равен \[T^{(A)} = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} \approx 2\pi\sqrt{\frac{0{,}1}{20}} \approx 0{,}44\text{ с}.\] В пункте Б получается другое значение \[T^{(\text{Б})} \approx 2\pi\sqrt{\frac{0{,}6}{10}} \approx 1{,}54\text{ с}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх