Полусферы

Дополните малую полусферу до целой сферы: потенциал равномерно заряженной сферы внутри и на её поверхности легко найти. Затем используйте симметрию.

Задача допускает несколько способов решения. Покажем два из них.

Пусть искомая энергия взаимодействия равна \(W\). Дополним рассматриваемую систему зарядов ещё одной заряженной полусферой радиусом \(r\), так чтобы образовалась малая заряженная сфера.

Потенциал поля малой сферы во всех точках большой полусферы равен \(k\dfrac{2q}{R}\), поэтому энергия взаимодействия сферы радиусом \(r\) и полусферы радиусом \(R\) равна \(k\dfrac{2qQ}{R}\). С другой стороны, эта энергия равна удвоенной энергии взаимодействия большой и малой полусфер, иначе говоря, удвоенной искомой энергии, поэтому \(W = k\dfrac{qQ}{R}\).

Другой способ решения предполагает анализ распределения потенциала полусферы. Рассмотрим поле большой полусферы. Потенциал этого поля в общем центре полусфер равен \(\varphi = k\dfrac{Q}{R}\). Если большую полусферу дополнить до целой сферы, то потенциал в любой точке внутри сферы будет равен \(2\varphi\). Отсюда следуют два утверждения.

a) Во всех точках среза большой полусферы (т. е. во всех точках круга, дополняющего полусферу до замкнутой поверхности) потенциал равен \(\varphi\).

б) Если рассмотреть две точки \(A\) и \(B\), симметричные относительно среза большой полусферы, то потенциалы в этих точках равны \(\varphi - \delta\) и \(\varphi + \delta\), где \(\delta\) — некоторая величина, зависящая от расположения точек \(A\) и \(B\).

Из утверждения б) следует, что если в точки \(A\) и \(B\) поместить равные заряды \(\Delta q\), то их суммарная энергия взаимодействия с внешней сферой будет равна \(2\varphi\,\Delta q\). А поскольку внутренняя полусфера симметрична относительно среза внешней полусферы, то её можно разбить на пары одинаковых малых зарядов \(\Delta q\). Отсюда следует, что полная энергия взаимодействия внутренней полусферы с внешней равна \[W = \varphi q = \frac{kQq}{R}.\]