Три заряженных шарика

Из симметрии задачи следует, что шарики движутся по прямым к центру и все одновременно останавливаются. Запишите закон сохранения энергии для системы трёх зарядов в начальный и конечный моменты.

Поскольку все шарики находятся в одинаковых условиях, они движутся одинаково: вдоль прямых, соединяющих их начальные положения с центром треугольника, причём в любой момент времени расстояния между шариками одинаковы. Значит, скорости шариков обращаются в ноль одновременно. Пусть в этот момент расстояние между шариками равно \(b\). Закон сохранения энергии для системы трёх зарядов: \[3\,\frac{mv^2}{2} + 3\,\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a} = 3\,\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 b} \quad\Rightarrow\quad a - b = \frac{2\pi\varepsilon_0\, m v^2 a^2}{q^2 + 2\pi\varepsilon_0\, m v^2 a}.\] Расстояние от вершины до центра правильного треугольника со стороной \(a\) равно \(a/\sqrt{3}\), а в конечный момент — \(b/\sqrt{3}\). Значит, искомый путь каждого из шариков равен \[s = \frac{a-b}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}\,\pi\varepsilon_0\, m v^2 a^2}{3\left(q^2 + 2\pi\varepsilon_0\, m v^2 a\right)}.\]