Курчатов, 2016/17, заключительный этап, 11 класс

Запишите законы сохранения энергии и импульса в момент отрыва шайбы от горки, затем найдите дальность полёта как функцию высоты \(h\) нижнего участка.

\(h = \dfrac{H}{2} = 0{,}5\text{ м}\);  \(L_{\max} = H\sqrt{\dfrac{M}{M+m}} = 0{,}9\text{ м}\).

Поскольку все поверхности гладкие, выполняется закон сохранения энергии \[mgH = mgh + \frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2},\] где \(v\) — скорость шайбы в момент отрыва, \(u\) — скорость горки. Из закона сохранения импульса \(mv = Mu\), откуда \(u = \dfrac{m}{M}v\). Подставляя это, получаем \[v^2 = \frac{2Mg(H-h)}{M+m}.\] Шайба вылетает горизонтально, поэтому время полёта \(t_п = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\), а дальность полёта \[L = v\,t_п = 2\sqrt{\frac{h(H-h)M}{M+m}}.\] Как видно, \(L\) максимальна при \(h = H/2\): \[L_{\max} = H\sqrt{\frac{M}{M+m}} = 0{,}9H = 0{,}9\text{ м}.\]

Сравните, как меняются силы, действующие на оба поршня со стороны газа, и используйте уравнение состояния идеального газа для нахождения изменения давления.

Левая пружина в недеформированном состоянии \(13l\), правая — \(8l\).

Поскольку жёсткость правой пружины в два раза больше, чем левой, а изменения сил давления газа на оба поршня при нагревании одинаковы, сжатие левой пружины должно быть в два раза больше, то есть составит \(2l\). Поэтому после нагревания расстояние между поршнями будет равно \(10l\). Пусть \(p_1, V_1\) — начальные давление и объём газа, \(p_2, V_2\) — конечные. Из уравнения состояния идеального газа \[\frac{p_2V_2}{p_1V_1} = \frac{T_2}{T_1}, \quad\text{откуда}\quad \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{V_1}{V_2} = \frac{600}{350}\cdot\frac{7l}{10l} = \frac{6}{5} = 1{,}2.\] Значит, давление в результате нагревания увеличилось на \(20\%\), и деформация пружин увеличилась на \(20\%\). Начальная деформация левой пружины равна \(10l\), а правой — \(5l\). Длина левой пружины в недеформированном состоянии \(13l\), а правой — \(8l\).

Найдите ток в цепи по закону Ома для полной цепи и количество теплоты, выделившейся в нагревателе. Подумайте, на что тратится теплота при постоянном объёме газа.

\(V = 6\cdot 10^{-2}\text{ м}^3 = 60\) л.

Сила тока, текущего через нагреватель, \[I = \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{100\text{ В}}{90\text{ Ом} + 10\text{ Ом}} = 1\text{ А}.\] Количество теплоты, выделившейся в нагревателе: \[Q = I^2Rt = 1^2\cdot 90\cdot 300\text{ Дж} = 27\text{ кДж}.\] Поскольку газ не обменивается теплотой с окружающей средой и его объём постоянен (и равен объёму баллона), вся выделившаяся теплота пошла на увеличение внутренней энергии одноатомного газа: \(Q = \dfrac{3}{2}\,\Delta p\,V\), где \(\Delta p = 3\cdot 10^5\text{ Па}\). Отсюда \[V = \frac{2Q}{3\,\Delta p} = \frac{18000\text{ Дж}}{3\cdot 10^5\text{ Па}} = 6\cdot 10^{-2}\text{ м}^3 = 60\text{ л}.\]

Из симметрии задачи следует, что шарики движутся по прямым к центру и все одновременно останавливаются. Запишите закон сохранения энергии для системы трёх зарядов в начальный и конечный моменты.

\(s = \dfrac{2\sqrt{3}\,\pi\varepsilon_0\, m v^2 a^2}{3\left(q^2 + 2\pi\varepsilon_0\, m v^2 a\right)}\).

Поскольку все шарики находятся в одинаковых условиях, они движутся одинаково: вдоль прямых, соединяющих их начальные положения с центром треугольника, причём в любой момент времени расстояния между шариками одинаковы. Значит, скорости шариков обращаются в ноль одновременно. Пусть в этот момент расстояние между шариками равно \(b\). Закон сохранения энергии для системы трёх зарядов: \[3\,\frac{mv^2}{2} + 3\,\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a} = 3\,\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 b} \quad\Rightarrow\quad a - b = \frac{2\pi\varepsilon_0\, m v^2 a^2}{q^2 + 2\pi\varepsilon_0\, m v^2 a}.\] Расстояние от вершины до центра правильного треугольника со стороной \(a\) равно \(a/\sqrt{3}\), а в конечный момент — \(b/\sqrt{3}\). Значит, искомый путь каждого из шариков равен \[s = \frac{a-b}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}\,\pi\varepsilon_0\, m v^2 a^2}{3\left(q^2 + 2\pi\varepsilon_0\, m v^2 a\right)}.\]

Подумайте, какие токи текут через параллельно соединённые \(C\) и \(L\) при \(\omega L = 1/(\omega C)\). Что происходит с запасённой в контуре энергией при замыкании ключа?

1) \(U_{C\max} = \dfrac{4U_0}{7}\);  2) \(I_{L\max} = \dfrac{4U_0}{7\,\omega L} = \dfrac{4\omega C U_0}{7}\);  3) \(Q_1 = \dfrac{32\,CU_0^2}{245}\) в резисторе между ключом и узлом \(A\), \(Q_2 = \dfrac{2\,CU_0^2}{245}\) в каждом из четырёх остальных;  4) ответы не изменятся;  5) при последовательном соединении: \(U_{C\max} = \dfrac{\omega L U_0}{3R}\), \(I_{L\max} = \dfrac{U_0}{3R}\), \(Q_1 = \dfrac{2\,LU_0^2}{45R^2}\), \(Q_2 = \dfrac{LU_0^2}{360R^2}\), и для пунктов 3 и 4 — в той же пропорции.

Поскольку цепь очень давно подключена к источнику, все переходные процессы давно прекратились. Для переменного тока параллельно соединённые конденсатор и катушка с выбранными значениями \(C\) и \(L\) представляют собой бесконечно большое сопротивление: в любой момент сумма токов через конденсатор и катушку равна нулю, поскольку их импедансы одинаковы, а токи текут в противофазе. Поэтому до замыкания ключа ток во всех семи резисторах одинаковый и равен \(I(t) = \dfrac{U_0\cos\omega t}{7R}\). Напряжение на конденсаторе и на катушке в любой момент времени одинаково и равно \(\dfrac{4U_0\cos\omega t}{7}\). Амплитуда этого напряжения и есть максимальное напряжение на конденсаторе: \[U_{C\max} = \frac{4U_0}{7}.\] Амплитуда тока через катушку \[I_{L\max} = \frac{4U_0}{7\,\omega L} = \frac{4\,\omega C U_0}{7}.\] Токи через конденсатор и катушку равны по модулю и текут в противофазе, поэтому ток в проводниках, соединяющих \(LC\)-контур с узлами \(A\) и \(B\), равен нулю. Запасённая в контуре энергия \[W = \frac{CU_{C\max}^2}{2} = \frac{LI_{L\max}^2}{2} = \frac{8CU_0^2}{49}\] после замыкания ключа превращается в теплоту, выделяющуюся в резисторах справа от ключа. Эта энергия распределяется между пятью резисторами, расположенными правее ключа. Четыре пятых энергии выделяется в резисторе между ключом и узлом \(A\): \[Q_1 = \frac{4}{5}W = \frac{32\,CU_0^2}{245}.\] В каждом из четырёх оставшихся резисторов выделяется по одной двадцатой энергии: \[Q_2 = \frac{1}{20}W = \frac{2\,CU_0^2}{245}.\] От момента замыкания ключа теплота, выделившаяся в каждом из пяти резисторов, не зависит, поэтому при размыкании ключа в момент максимального тока ответы не меняются.

Если конденсатор и катушка подключены последовательно, то для переменного тока такой контур представляет собой короткое замыкание между \(A\) и \(B\). Тогда ток через катушку и конденсатор равен \(I_{\max} = \dfrac{U_0}{3R}\), а максимальное напряжение на конденсаторе \[U_{C\max} = \frac{U_0}{3R\,\omega C} = \frac{\omega L U_0}{3R}.\] Запасённая в контуре энергия до замыкания ключа равна \(\dfrac{LI_{\max}^2}{2} = \dfrac{LU_0^2}{18R^2}\). Она распределяется между резисторами справа от ключа в той же пропорции, что и в параллельном случае: \[Q_1 = \frac{4}{5}\cdot\frac{LU_0^2}{18R^2} = \frac{2\,LU_0^2}{45R^2}, \qquad Q_2 = \frac{1}{20}\cdot\frac{LU_0^2}{18R^2} = \frac{LU_0^2}{360R^2}.\]

Выразите расстояние от предмета до линзы через расстояние от линзы до экрана по формуле увеличения, затем запишите формулу тонкой линзы для обоих случаев.

\(x = 30\text{ см}\);  увеличение во втором случае — \(2\).

Пусть \(b\) — начальное расстояние от экрана до линзы, тогда начальное расстояние от предмета до линзы равно \(b/4\) (по формуле для увеличения, даваемого линзой). По формуле тонкой линзы: \[\frac{4}{b} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \quad\Rightarrow\quad b = 5F = 100\text{ см}.\] Значит, новое расстояние от линзы до экрана равно \(100\text{ см} - 40\text{ см} = 60\text{ см}\). Запишем формулу тонкой линзы во втором случае, обозначив расстояние от предмета до линзы через \(x\): \[\frac{1}{x} + \frac{1}{60\text{ см}} = \frac{1}{20\text{ см}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x} = \frac{2}{60\text{ см}} \quad\Rightarrow\quad x = 30\text{ см}.\] Теперь линза даёт изображение, увеличенное в \(\dfrac{60\text{ см}}{30\text{ см}} = 2\) раза.