Цепь переменного тока с LC и ключом

Подумайте, какие токи текут через параллельно соединённые \(C\) и \(L\) при \(\omega L = 1/(\omega C)\). Что происходит с запасённой в контуре энергией при замыкании ключа?

Поскольку цепь очень давно подключена к источнику, все переходные процессы давно прекратились. Для переменного тока параллельно соединённые конденсатор и катушка с выбранными значениями \(C\) и \(L\) представляют собой бесконечно большое сопротивление: в любой момент сумма токов через конденсатор и катушку равна нулю, поскольку их импедансы одинаковы, а токи текут в противофазе. Поэтому до замыкания ключа ток во всех семи резисторах одинаковый и равен \(I(t) = \dfrac{U_0\cos\omega t}{7R}\). Напряжение на конденсаторе и на катушке в любой момент времени одинаково и равно \(\dfrac{4U_0\cos\omega t}{7}\). Амплитуда этого напряжения и есть максимальное напряжение на конденсаторе: \[U_{C\max} = \frac{4U_0}{7}.\] Амплитуда тока через катушку \[I_{L\max} = \frac{4U_0}{7\,\omega L} = \frac{4\,\omega C U_0}{7}.\] Токи через конденсатор и катушку равны по модулю и текут в противофазе, поэтому ток в проводниках, соединяющих \(LC\)-контур с узлами \(A\) и \(B\), равен нулю. Запасённая в контуре энергия \[W = \frac{CU_{C\max}^2}{2} = \frac{LI_{L\max}^2}{2} = \frac{8CU_0^2}{49}\] после замыкания ключа превращается в теплоту, выделяющуюся в резисторах справа от ключа. Эта энергия распределяется между пятью резисторами, расположенными правее ключа. Четыре пятых энергии выделяется в резисторе между ключом и узлом \(A\): \[Q_1 = \frac{4}{5}W = \frac{32\,CU_0^2}{245}.\] В каждом из четырёх оставшихся резисторов выделяется по одной двадцатой энергии: \[Q_2 = \frac{1}{20}W = \frac{2\,CU_0^2}{245}.\] От момента замыкания ключа теплота, выделившаяся в каждом из пяти резисторов, не зависит, поэтому при размыкании ключа в момент максимального тока ответы не меняются.

Если конденсатор и катушка подключены последовательно, то для переменного тока такой контур представляет собой короткое замыкание между \(A\) и \(B\). Тогда ток через катушку и конденсатор равен \(I_{\max} = \dfrac{U_0}{3R}\), а максимальное напряжение на конденсаторе \[U_{C\max} = \frac{U_0}{3R\,\omega C} = \frac{\omega L U_0}{3R}.\] Запасённая в контуре энергия до замыкания ключа равна \(\dfrac{LI_{\max}^2}{2} = \dfrac{LU_0^2}{18R^2}\). Она распределяется между резисторами справа от ключа в той же пропорции, что и в параллельном случае: \[Q_1 = \frac{4}{5}\cdot\frac{LU_0^2}{18R^2} = \frac{2\,LU_0^2}{45R^2}, \qquad Q_2 = \frac{1}{20}\cdot\frac{LU_0^2}{18R^2} = \frac{LU_0^2}{360R^2}.\]