Построение

Изображения радиусов, проведённых из центра в крайние точки полуокружности, одинаковы по размеру, значит, диаметр, стягивающий полуокружность, перпендикулярен главной оптической оси. Прямая через изображения концов радиуса, перпендикулярного оси, проходит через фокус.

Существует несколько вариантов решения. Покажем один из них.

Поскольку изображения радиусов, проведённых из центра в крайние точки полуокружности, имеют одинаковый размер, диаметр, закрывающий полуокружность, перпендикулярен главной оптической оси.

При этом главная оптическая ось касается изображения в одной из крайних точек и совпадает с одной из линий сетки. Далее по рисунку определяем размер изображения радиуса, закрывающего полуокружность, получается \(A_1B_1 = 12\). Далее определяем расстояние от дальней точки изображения до главной оптической оси \(A_2B_2 = 30\) и расстояние между ближней и дальней точками изображения \(B_2B_1 = 60\). Прямая \(A_1A_2\) должна проходить через фокус. Из подобия треугольников получаем \(B_1F = 40\).

Обозначим \(R\) — радиус исходной окружности, \(a_1\) — расстояние от диаметра, закрывающего полуокружность, до линзы, \(f\) — фокусное расстояние. Тогда справедливы соотношения \[\frac{R}{a_1} = \frac{12}{f + 40} \quad\Rightarrow\quad a_1 = \frac{f + 40}{12}\cdot R .\] Аналогично для расстояния \(a_2\) от ближней (к линзе) точки полуокружности до линзы имеем формулу \[a_2 = \frac{f + 100}{30}\cdot R .\] Далее записываем для точки изображения \(A_1\) формулу линзы. Имеем уравнение \[\frac1f = \frac{1}{f + 40} + \frac{1}{a_1}.\] Подставляя в это уравнение выражение для \(a_1\), получаем после преобразований соотношение \[R = 0{,}3f .\] Учитывая, что \(a_1 = a_2 + R\), из выражений для \(a_1\) и \(a_2\) имеем уравнение \[\frac{f + 100}{30} + 1 = \frac{f + 40}{12}.\] Решая это уравнение и подставляя найденное значение \(f = 20\) в соотношение \(R = 0{,}3f\), получаем \(R = 6\).