Посеребренный конус

Каждое отражение от образующей конуса поворачивает луч на угол \(2\alpha_0\), где \(\alpha_0 = (D - d)/2h\) — угол наклона образующей к оси. Посчитайте, какие лучи отражаются один раз, какие — два, и под какими углами они выходят. Линза собирает параллельные пучки в точки фокальной плоскости.

1. Рассмотрим пучок лучей, падающих на правое (по рисунку) основание конуса диаметром \(D\). Часть лучей, идущих в пределах круга диаметром \(d\) с центром на оси конуса, проходит без препятствий и образует на экране круглое пятно того же диаметра \(d_0 = d\).

Остальные лучи, прошедшие через входное сечение конуса, испытывают не менее одного отражения от боковой поверхности конуса. Поскольку оптическая схема имеет осевую симметрию, то эти лучи будут образовывать кольца, с центром в точке пересечения экрана осью конуса. Выясним количество и геометрию колец (радиусы и ширину колец, а также возможность их перекрытия друг с другом).

В дальнейшем будем рассматривать лучи, падающие на одну из образующих конической поверхности. Пусть \(\alpha_0\) — угол между направлением исходного пучка света и конической поверхностью отверстия. Из геометрии \(\alpha_0 = (D - d)/2h = 3d/2h\). Заметим, что из условия следует \(\alpha_0 \ll 1\).

Рассмотрим луч 1 исходного пучка, падающий на самый край выходного сечения конуса и не отражавшийся до этого. После одного отражения он выйдет из отверстия под углом \(2\alpha_0\) к начальному направлению.

Теперь рассмотрим луч 2, падающий на коническую поверхность максимально далеко от выходного отверстия и испытывающий ровно одно отражение до выхода из пластины. Найдем расстояние \(x_1\) от места падения луча до левой поверхности пластины. Так как \(\alpha_0 \ll 1\), то с хорошей точностью можем считать равным \(\pi/2\) угол между конической поверхностью отверстия и поверхностью пластины. В таком случае \(x_1 \approx d/\mathrm{tg}\,\alpha_0 = 2h/3\).

Эти лучи (с учетом симметрии) образуют на экране кольцо, толщина которого \(d_1 = d\). Радиус средней линии кольца \(R_1\) найдем рассмотрев ход луча, испытавшего одно отражение и вышедшего из центра выходного отверстия. Так как луч выходит под углом \(\alpha_1 = 2\alpha_0\) к оси конуса, то \(R_1 = L\,\mathrm{tg}\,\alpha_1 = 3dL/h\). Заметим, что \(R_1 \gg d\) (толщины первого кольца и диаметра центрального пятна), что означает отсутствие пересечения первого кольца с центральным пятном.

Рассмотрим лучи, отразившиеся от конической поверхности отверстия дважды. Они выйдут из пластины под углом \(\alpha_2 = 4\alpha_0\) и образуют на экране еще одно кольцо. Найдем расстояние \(x_2\) между точками первого отражения предельных лучей из этой группы. Так как \(\alpha_0 \ll 1\), то с хорошей точностью \(x_2 = x_1 = 2h/3\). Как мы видим толщины пластины не достаточно для того, чтобы лучи, испытавшие два отражения, выходили в заданном направлении со всей площади выходного отверстия. Из хода предельных лучей 3 и 4 видно, что толщина второго кольца \(d_2 = d/2\), а радиус внешней части второго кольца равен \(R_2 = L\,\mathrm{tg}\,\alpha_2 = 6dL/h\).

2. Все вышедшие из отверстия пучки параллельных лучей соберутся в фокальной плоскости. Определить место их сбора можно следующим образом: так как \(h \ll L\) и \(d \ll h\), то можно считать, что все лучи выходят практически из одной точки, совпадающей с фокусом линзы, значит после преломления они будут идти параллельно главной оптической оси. Из рисунка видно, что в таком случае радиусы колец уменьшатся в два раза. \(R_1' = R_1/2 = 3dL/(2h)\), \(R_2' = R_2/2 = 3dL/h\).

Определим как изменятся их толщины и диаметр центрального пятна.

Центральное пятно образуется параллельным пучком лучей, идущим вдоль главной оптической оси. Идеальная линза собирает такие лучи в точку, поэтому в приближении геометрической оптики размер центрального пятна будет много меньше \(d\).

Кольца образуются также параллельными пучками лучей, которые идеальная линза собирает в фокальной плоскости, поэтому толщина колец тоже станет много меньше \(d\).