Задачи › Ход лучей в линзах, построения

Точно не Снеллиус?

  1. Точно не Снеллиус?

    ВсОШ 2024/25, 10 кл.
    6/10

    Даны светящийся отрезок \(AB\), точка \(B'\) — изображение точки \(B\), создаваемое некоторой тонкой линзой, и прямая \(\alpha\), проходящая через точку \(B'\) (см. рисунок). Известно, что точка \(B'\) лежит в плоскости двойного фокуса линзы, а точка \(A'\) (изображение точки \(A\)) лежит на прямой \(\alpha\). Для всех возможных ситуаций с помощью циркуля и линейки без делений восстановите:

    1. положение оптического центра линзы;

    2. положение линзы и положение её главной оптической оси;

    3. положение фокусов линзы;

    4. положение точки \(A'\).

    Рисунок

    На отдельном листе приведено два рисунка. Все построения выполняйте на этом листе, опишите их. Метод построения параллельных и перпендикулярных прямых, проходящих через заданную точку, деление отрезка пополам, откладывание равных отрезков и подобные стандартные геометрические процедуры описывать не обязательно.

    Считайте, что данная линза любые лучи (даже непараксиальные) преломляет по тем же правилам, что и параксиальные. Параксиальный луч — это луч, идущий под малым углом к главной оптической оси линзы и на малом расстоянии от неё.

    Примечание. При сдаче работы лист с рисунками вкладывается в решение участника.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Рассеивающая линза не может дать изображение в плоскости двойного фокуса, значит линза собирающая; разберите два случая — действительное и мнимое изображение \(B'\) (для мнимого найдите из формулы линзы, где тогда стоит \(B\)). Луч, идущий вдоль \(AB\), после линзы идёт по прямой \(\alpha\) — их пересечение лежит на линзе.

    Ответ

    Линза собирающая, возможны два случая. 1) Если \(B'\) действительное, оптический центр \(O\) — середина \(BB'\); если мнимое, \(O\) лежит на продолжении \(B'B\) за точку \(B\) на расстоянии \(BB'/2\) от \(B\). 2) Линза проходит через \(O\) и точку \(L\) пересечения прямой \(AB\) с прямой \(\alpha\); главная оптическая ось — перпендикуляр к линзе в точке \(O\). 3) Фокус — середина отрезка между \(O\) и точкой пересечения оси с плоскостью двойного фокуса (через \(B'\) перпендикулярно оси), второй фокус симметричен ему относительно \(O\). 4) \(A'\) — пересечение прямой \(AO\) с прямой \(\alpha\). Построения — на рисунках решения.

    Решение

    В условии задачи не указан тип линзы, поэтому необходимо понять, какая линза может быть. Изображение действительного объекта в рассеивающей линзе всегда лежит между фокальной плоскостью и плоскостью линзы. Так как \(B'\) лежит в плоскости двойного фокуса, то линза не может быть рассеивающей, поэтому делаем вывод, что линза собирающая. Изображение \(B'\) может быть действительным или мнимым.

    Рассмотрим сначала случай, когда изображение \(B'\) действительное. Если изображение действительное, то точки \(B\) и \(B'\) лежат в плоскостях двойного фокуса и оптический центр лежит на середине отрезка \(BB'\).

    Рассмотрим теперь случай, когда изображение \(B'\) мнимое. В этом случае \(B\) лежит между фокальной плоскостью и плоскостью линзы. Запишем формулу тонкой линзы для этого случая: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{-2F} = \frac{1}{F},\] откуда находим, что \(a = 2F/3\), а расстояние между предметом и его изображением \(\Delta = 2F - a = 4F/3\) в два раза больше расстояния между предметом и линзой \(a\).

    Для построения оптического центра линзы в первом случае делим отрезок \(BB'\) пополам, на середине этого отрезка и будет оптический центр \(O\). Во втором случае делим отрезок \(BB'\) пополам, продолжаем прямую проходящую через это отрезок за точку \(B\) и откладываем еще половину отрезка \(BB'\) — найденная точка будет оптическим центром \(O\).

    Рисунок

    Для восстановления положения линзы найдем вторую точку линзы, для этого заметим, что луч \(AB\) после преломления в линзе пойдёт вдоль прямой \(\alpha\), так как изображение точки \(A'\) также лежит на этой прямой. Продолжим прямую, проходящую через отрезок \(AB\), до пересечения с прямой \(\alpha\), найденная точка пересечения \(L\) будет принадлежать плоскости линзы. Рисуем линзу в виде отрезка, содержащего точки \(L\) и \(O\). Для восстановления главной оптической оси (далее — ГОО) построим перпендикуляр к линзе в точке \(O\).

    Чтобы найти фокус, можно пойти двумя путями.

    а) Пустим из т. \(B\) луч, идущий параллельно ГОО, который после преломления в линзе пройдет через т. \(B'\) и пересечёт ГОО в точке фокуса;

    Рисунок

    б) Вспомним, что т. \(B'\) лежит в двойной фокальной плоскости. Проведём эту плоскость, определим по её пересечению с ГОО точку двойного фокуса, разделим получившийся отрезок пополам и получим точку фокуса \(F\). На рисунке представлены построения, соответствующие второму способу решения.

    Чтобы построить точку \(A'\) можно пойти двумя путями:

    а) Пустим из т. \(A\) луч, параллельный ГОО. После преломления в линзе этот луч пройдет через фокус и пересечется с прямой \(\alpha\) в т. \(A'\).

    б) Пустим из т. \(A\) луч, проходящий через оптический центр \(O\). Луч (в первом случае) или его продолжение (во втором случае) пересечется с прямой \(\alpha\) как раз в т. \(A'\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх