Неоднородное поле

Сила Лоренца не меняет модуль скорости. Составьте уравнение для угла поворота скорости и посмотрите, как время разворота и глубина проникновения зависят от массы частицы (метод размерностей тоже подойдёт).

Будем считать, что потерь энергии на излучение нет, поэтому величины скорости и протона, и электрона во времени не меняются. При этом на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля действует сила (магнитная составляющая силы Лоренца), перпендикулярная и вектору скорости частицы, и вектору индукции магнитного поля. То есть вектор скорости поворачивается. Направление этой силы таково, что частица движется в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Если обозначить угол, который образует нормаль к границе раздела и вектор скорости частицы, символом \(\alpha\), то глубина проникновения к моменту времени \(t\) равна \[x(t) = \int\limits_0^t v\cos\alpha\,dt .\] На такой «глубине» величина индукции магнитного поля равна \[B(x) = B(L)\,\frac{x(t)}{L}.\] Здесь \(B(L)\) — это величина магнитного поля на глубине проникновения в переходный участок, равной \(L\). Скорость вращения вектора скорости частицы равна \[\frac{d\alpha}{dt} = \frac{qB(L)}{Lm}\,x(t)\] или (если продифференцировать правую и левую части равенства по времени) \[\frac{d^2\alpha}{dt^2} = \frac{qB(L)\,v}{Lm}\cos\alpha .\] Поскольку угол поворота скорости фиксирован и равен \(\pi\), то время разворота с некоторым безразмерным коэффициентом пропорционально величине \[T \sim \sqrt{\frac{Lm}{qvB(L)}} .\] Отметим, что это соотношение может быть составлено из параметров, данных в условии задачи: \(v\), \(B\), \(L\), \(q\), \(m\), методом размерностей.

Поскольку масса электрона в 1838 раз меньше массы протона, то на «разворот» электрону потребуется меньше времени в \(1838^{1/2}\) раз, то есть примерно в 43 раза, следовательно, \(\tau_e \approx 0{,}023\) с. Начальные скорости у протона и электрона одинаковы, их траектории по форме подобны, поэтому во столько же раз будет меньше и глубина проникновения электрона в область с магнитным полем.

Покажем теперь другой способ решения. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси \(OZ\) декартовой системы координат, а ось \(OX\) направлена перпендикулярно границе поля в сторону его увеличения. Обозначим скорость частицы в некоторый момент \(V\), а единичный вектор, направленный вдоль скорости в этот момент времени, обозначим \(\vec e_V\), единичный вектор, направленный вдоль оси \(OX\), обозначим \(\vec e_x\), тогда магнитная составляющая силы Лоренца, действующей на частицу с зарядом \(q\), равна \[\vec F = qV\,\frac{B_0 x}{L}\,[\vec e_V \times \vec e_x],\] где \(x\) — глубина проникновения частицы в область поля, \(B_0\) — индукция магнитного поля в области постоянного поля. Пусть \(\varphi\) — угол, на который поворачивается вектор скорости относительно первоначального направления. Поскольку магнитная составляющая силы Лоренца ортогональна вектору скорости, модуль скорости частицы с течением времени не меняется. Радиус кривизны траектории находится из второго закона Ньютона и оказывается равен \[R(x) = \frac{mVL}{qB_0 x}.\] Обозначим длину бесконечно малого элемента траектории \(dl = R(x)\,d\varphi\), тогда бесконечно малое изменение координаты \(x\), как следует из формулы для \(R(x)\), равно \[dx = \frac{mVL}{qB_0 x}\cos\varphi\,d\varphi .\] Это соотношение можно привести к интегрируемому виду и далее проинтегрировать \[d\!\left(\frac{x^2}{2}\right) = \frac{mVL}{qB_0}\cos\varphi\,d\varphi \quad\Rightarrow\quad x(\varphi) = \sqrt{\frac{2mVL}{qB_0}\,\sin\varphi}\, .\] Максимальная глубина проникновения в магнитное поле, таким образом, равна \[x_{\max} = \sqrt{\frac{2mVL}{qB_0}} .\] Отсюда следует ответ на вопрос о глубине проникновения \[\frac{L_e}{L_p} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}} .\] Учитывая, что \(dt = \dfrac{dx}{V\cos\varphi}\), из выражения для \(dx\) имеем соотношение \(dt = \dfrac{mL}{qB_0 x}\,d\varphi\). Подставляем в это соотношение выражение для \(x(\varphi)\), в результате имеем формулу \[dt = \sqrt{\frac{mL}{2qB_0V}}\cdot\frac{d\varphi}{\sqrt{\sin\varphi}} .\] Интегрируя эту формулу от \(0\) до \(\dfrac{\pi}{2}\), получим время достижения максимальной глубины проникновения в поле, которое в два раза меньше времени разворота частицы. При этом для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, необязательно находить значение интеграла от функции \(\dfrac{1}{\sqrt{\sin\varphi}}\). Значение этого интеграла будет одинаковым и для протона, и для электрона. Из этих рассуждений следует соотношение \(\tau \sim \sqrt m\) и ответ \(\tau_e = \tau_p\sqrt{\dfrac{m_e}{m_p}} \approx \dfrac{1}{43}\) с.