Измерение массы в невесомости

На орбите корабль не закреплён и тоже колеблется: кресло с пружиной и корабль образуют систему двух тел, период которой определяется приведённой массой. Измерение с пустым креслом позволяет найти массу корабля.

1. Формула для периода колебаний: \[T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m_0}{k}}. \tag{1}\] Отсюда \[m_0 = \frac{k}{4\pi^2}T_0^2 = 25{,}21\text{ кг}. \tag{2}\]

2. Когда корабль обращается вокруг Земли, колебательная система — пружина, один конец которой прикреплён к креслу массы \(m_0\), а другой — к кораблю массы \(M\). Эта система колеблется как тело массы \[m_0' = \frac{m_0M}{m_0+M}, \tag{3}\] прикреплённое к концу пружины, другой конец которой закреплён (\(m_0'\) — приведённая масса системы корабль — кресло). Период \(T_0'\) системы также даётся формулами (1) и (2). Получаем \[\frac{m_0}{m_0'} = \left(\frac{T_0}{T_0'}\right)^2 = \left(\frac{1{,}28195}{1{,}27395}\right)^2. \tag{4}\] Массу \(M\) корабля можно вычислить из (3): \[M = \frac{m_0}{\dfrac{m_0}{m_0'} - 1} = \frac{25{,}21}{\left(\dfrac{T_0}{T_0'}\right)^2 - 1} = \frac{25{,}21}{\left(\dfrac{1{,}28195}{1{,}27395}\right)^2 - 1} = 2001\text{ кг}. \tag{5}\] Пусть \(m\) — масса космонавта вместе с креслом, соответствующая приведённая масса \(m'\): \[m' = \frac{mM}{m+M}, \tag{6}\] тогда выражение для \(m\): \[m = \frac{m'}{1 - \dfrac{m'}{M}}.\] Приведённую массу \(m'\) можно вычислить по периоду колебаний \(T'\) с помощью формулы (2): \[m' = \frac{605{,}6}{4}\cdot\left(\frac{2{,}33044}{3{,}1416}\right)^2 = 83{,}31\text{ кг}.\] Истинное значение массы \(m\): \[m = \frac{83{,}31}{1 - \dfrac{83{,}31}{2001}} = 86{,}93\text{ кг}.\] Истинное значение массы космонавта: \[86{,}93 - 25{,}21 = 61{,}72\text{ кг}.\]