Нелинейный резистор

Резистор нагревается током и остывает в воздухе, а его сопротивление зависит от температуры скачком. Сначала найдите из второго опыта коэффициент теплоотдачи, потом выясните, на какой ветви графика окажется резистор при \(80\) В.

Максимальный ток \(I_{\max}=1{,}6\) А, минимальный \(I_{\min}=0{,}8\) А; период \(T\approx0{,}19\) с (нагрев от \(99\) до \(100\,{}^\circ\text{C}\) занимает \(0{,}092\) с, охлаждение — \(0{,}096\) с).

Что происходит. Резистор — нагреватель, мощность которого \(P=U^2/R\) зависит от температуры через скачок сопротивления с гистерезисом. Он остывает в воздухе по закону \(k(t-t_0)\). При \(60\) В нагрев и теплоотдача уравновешиваются при \(80\,{}^\circ\text{C}\). При \(80\) В равновесия нет: при \(R=50\) Ом нагрев сильнее теплоотдачи вплоть до \(100\,{}^\circ\text{C}\), где сопротивление удваивается и мощность падает вдвое, так что резистор остывает до \(99\,{}^\circ\text{C}\), где сопротивление возвращается, — и всё повторяется. Колебания температуры — в пределах одного градуса, а ток меняется скачками между двумя значениями.

Обозначения. \(t\) — температура резистора в градусах Цельсия, \(\tau\) — время, \(k\) — мощность теплоотдачи на один градус разности температур: мощность теплоотдачи равна \(k(t-t_0)\). Тепловой баланс резистора за малый промежуток \(d\tau\) (закон сохранения энергии: тепло от тока минус тепло, ушедшее в воздух, идёт на нагрев): \[C\,dt=\Bigl[\frac{U^2}{R}-k(t-t_0)\Bigr]d\tau .\]

1. Коэффициент \(k\) из второго опыта. Температура установилась на \(t_3=80\,{}^\circ\text{C}\), \(dt=0\). Резистор нагревался от комнатной температуры, то есть по нижней (синей) ветви графика, и \(80\,{}^\circ\text{C}\) ниже скачка: \(R=R_1=50\) Ом. Мощность тока равна мощности теплоотдачи: \[\frac{U_1^2}{R_1}=k(t_3-t_0)\quad\Rightarrow\quad k=\frac{60^2}{50\cdot60}=1{,}2\ \frac{\text{Вт}}{\text{К}}.\] Обратите внимание: сопротивление в этом опыте — \(50\) Ом, а не \(100\) Ом. Резистор не может оказаться на верхней ветви, пока не нагрелся выше \(100\,{}^\circ\text{C}\), а при \(R=100\) Ом и \(60\) В равновесие было бы при \(50\,{}^\circ\text{C}\) — с условием не согласуется.

2. Опыт при 80 В: почему колебания. При \(R_1=50\) Ом мощность \(P_1=80^2/50=128\) Вт. Если бы сопротивление не менялось, температура стремилась бы к \(t_0+P_1/k=20+128/1{,}2\approx127\,{}^\circ\text{C}\). Но при \(100\,{}^\circ\text{C}\) сопротивление скачком становится \(100\) Ом, мощность \(P_2=80^2/100=64\) Вт, равновесная температура была бы \(20+64/1{,}2\approx73\,{}^\circ\text{C}\). Она ниже \(99\,{}^\circ\text{C}\) — резистор остывает, пока не дойдёт до \(99\,{}^\circ\text{C}\), где сопротивление падает до \(50\) Ом. Оба равновесия лежат по другую сторону скачка и недостижимы: на графике они отмечены светлыми кружками, а резистор доходит только до скачка.

Сопротивление меняется скачком, а температура — нет (у резистора конечная теплоёмкость), поэтому температура ходит в пределах \(99\)–\(100\,{}^\circ\text{C}\).

3. Ток. Напряжение постоянное, \(I=U_2/R\): \[I_{\max}=\frac{80}{50}=1{,}6\text{ А (на ветви }R_1\text{)},\qquad I_{\min}=\frac{80}{100}=0{,}8\text{ А (на ветви }R_2\text{)}.\]

4. Период. Нагрев с \(99\) до \(100\,{}^\circ\text{C}\) идёт при \(R=50\) Ом. Решим уравнение баланса, разделив переменные (при постоянных \(P_1\), \(k\)): \[\tau_1=\frac Ck\ln\frac{P_1-k(99-t_0)}{P_1-k(100-t_0)}=2{,}5\text{ с}\cdot\ln\frac{128-94{,}8}{128-96}=2{,}5\ln\frac{33{,}2}{32}\approx0{,}092\text{ с}.\] Охлаждение со \(100\) до \(99\,{}^\circ\text{C}\) идёт при \(R=100\) Ом, мощность \(P_2\); теперь теплоотдача сильнее нагрева: \[\tau_2=\frac Ck\ln\frac{k(100-t_0)-P_2}{k(99-t_0)-P_2}=2{,}5\ln\frac{96-64}{94{,}8-64}=2{,}5\ln\frac{32}{30{,}8}\approx0{,}096\text{ с}.\] Период \(T=\tau_1+\tau_2\approx0{,}19\) с.

Проверка. Размерность: \(C/k=\text{Дж/К}\,/\,(\text{Вт/К})=\text{с}\), логарифм безразмерен. Второй способ: за \(1\,{}^\circ\text{C}\) температура меняется мало, и избыток мощности можно считать постоянным — по значению в середине интервала, \(99{,}5\,{}^\circ\text{C}\). Нагрев: \(\tau_1\approx\dfrac{C\cdot1\text{ К}}{128-1{,}2\cdot79{,}5}=\dfrac{3}{32{,}6}=0{,}092\) с; охлаждение: \(\tau_2\approx\dfrac{3}{1{,}2\cdot79{,}5-64}=\dfrac{3}{31{,}4}=0{,}096\) с, совпало с точным расчётом. Частота колебаний около \(5\) Гц.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.