Задачи › Эквивалентный источник

Чёрный ящик с резисторами

  1. Чёрный ящик с резисторами

    МОШ 2003/04, 10 кл.
    6/10

    Внутри «чёрного ящика» между клеммами включена схема, состоящая из нескольких одинаковых резисторов. Между клеммами 1 и 2 включена батарейка с ЭДС \(\mathcal{E}\) и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, а между клеммами 3 и 4 — идеальный вольтметр с нулевым делением посередине шкалы (см. рисунок). Если включить такой же резистор, как те, что находятся внутри ящика, между клеммами 1 и 3 или между клеммами 2 и 4, то вольтметр покажет напряжение \(+U\), а если включить этот резистор между клеммами 1 и 4 или между клеммами 2 и 3, то вольтметр покажет напряжение \(-U\). Если резистор не включать, то вольтметр показывает нулевое напряжение. Нарисуйте схему возможных соединений внутри ящика, содержащую минимальное число резисторов, и определите \(U\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    Минимальное число резисторов — четыре, возможны две схемы: мостовая (рис. 3.65.1), для неё \(U = \mathcal{E}/6\), и схема с общей точкой посередине (рис. 3.65.2), для неё \(U = \mathcal{E}/5\).

    Решение

    Путём простого перебора вариантов легко установить, что минимально возможное число резисторов внутри «чёрного ящика» — четыре, и возможны две схемы их соединения.

    Рисунок
    Рисунок

    1. Мостовая схема (рисунок 3.65.1). Рассмотрим, например, случай, когда дополнительный резистор включён между клеммами 2 и 4. При этом между точками 3 и 1 падение напряжения равно \(\mathcal{E}/2\), а между точками 4 и 1, очевидно, \(2\mathcal{E}/3\). Поэтому между клеммами 4 и 3 напряжение равно \[U = \dfrac{2\mathcal{E}}{3} - \dfrac{\mathcal{E}}{2} = \dfrac{\mathcal{E}}{6}.\] Остальные случаи подключения дополнительного резистора рассматриваются аналогично.

    2. Схема с общей точкой посередине (рисунок 3.65.2). Включим дополнительный резистор \(R_5 = R\) между точками 2 и 4, как и на первой схеме. В данном случае через резистор \(R_3\) и идеальный вольтметр, обладающий бесконечно большим сопротивлением, ток не течёт. Поэтому общее сопротивление цепи, состоящей из резистора \(R_1 = R\) и подключённой к нему последовательно разветвлённой части цепи, состоящей из резистора \(R_2 = R\) и соединённого с ним параллельно сопротивления \(R_4 + R_5 = 2R\), равно \[R_x = R + \left(\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{2R}\right)^{-1} = R + \dfrac{2R}{3} = \dfrac{5R}{3}.\] Поэтому ток, текущий через резистор \(R_1\), будет равен \[I_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_x} = \dfrac{3\mathcal{E}}{5R},\] а ток, текущий через резисторы \(R_4\) и \(R_5\) — втрое меньше: \[I_4 = I_5 = \dfrac{I_1}{3} = \dfrac{\mathcal{E}}{5R}.\] Вольтметр показывает падение напряжения на резисторе \(R_4 = R\), равное \(U = I_4R = \dfrac{\mathcal{E}}{5}\). Остальные случаи подключения дополнительного резистора рассматриваются аналогично.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх