Ящик на горку

По условию задачи ящик двигают медленно. Это означает, что в любой момент времени сумма действующих на ящик сил равна нулю.

Рассмотрим столь малый отрезок горки длиной \(\Delta l_i\), что его можно считать прямолинейным участком наклонной плоскости, образующим с горизонтом угол \(\alpha_i\). Тогда сила, которую нужно прилагать к ящику для его медленного равномерного перемещения по этому участку, равна \(F_i = mg(\sin\alpha_i + \mu\cos\alpha_i)\). Работа, совершаемая такой силой на данном участке, равна \[\Delta A_i = F_i\Delta l_i = mg(\Delta l_i\sin\alpha_i + \mu\Delta l_i\cos\alpha_i) = mg(\Delta y_i + \mu\Delta x_i).\] Здесь \(\Delta x_i\) и \(\Delta y_i\) — проекции отрезка \(\Delta l_i\) на оси \(X\) и \(Y\) соответственно. Из рисунка видно, что \(-\pi/2 < \alpha_i < \pi/2\). Поэтому все \(\Delta x_i = \Delta l_i\cos\alpha_i > 0\) (ящик всё время движется направо, вдоль оси \(X\)), а величины \(\Delta y_i = \Delta l_i\sin\alpha_i\) могут быть как положительными (ящик поднимается), так и отрицательными (ящик опускается).

Таким образом, искомая работа по перемещению ящика из точки \(O\) в точку \(B\) по горке равна \[A = \sum_i \Delta A_i = mg\sum_i (\Delta y_i + \mu\Delta x_i) = mg\left(\sum_i \Delta y_i + \mu\sum_i \Delta x_i\right) = mg(y_3 + \mu x_3).\]