Пружины в цикле

Рассмотрим процесс медленного нагревания или охлаждения газа под поршнем, который прикреплён к пружине жёсткостью \(k\). Из условия равновесия поршня имеем \(k(x - x_0) = pS\), где \(p\) — давление газа, \(x\) — координата нижней поверхности поршня, отсчитанная вверх от дна цилиндра, \(x_0\) соответствует недеформированной пружине. Отсюда с учётом того, что \(V = Sx\), получаем: \(p = \dfrac{k}{S^2}(V - Sx_0)\). Таким образом, графиком процесса на \(pV\)-диаграмме является прямая с угловым коэффициентом \(\dfrac{\Delta p}{\Delta V} = \dfrac{k}{S^2}\), откуда \[k = S^2\dfrac{\Delta p}{\Delta V}.\] Удлинение пружины \(\Delta x\) в зависимости от \(p\) равно \[\Delta x = x - x_0 = \dfrac{pS}{k} = \dfrac{p}{S}\cdot\dfrac{\Delta V}{\Delta p}.\] Из этих формул для участков 1–2, 2–3 и 3–1 циклического процесса с использованием \(pV\)-диаграммы получаем ответ.

Жёсткости пружин: \[k_{12} = S^2\dfrac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1};\qquad k_{23} = S^2\dfrac{p_3 - p_2}{V_3 - V_2};\qquad k_{31} = S^2\dfrac{p_3 - p_1}{V_3 - V_1}.\] Удлинения пружин: \[\begin{aligned} \Delta x_{12}^{\text{нач}} &= \dfrac{p_1(V_2 - V_1)}{S(p_2 - p_1)}; & \Delta x_{12}^{\text{кон}} &= \dfrac{p_2(V_2 - V_1)}{S(p_2 - p_1)};\\ \Delta x_{23}^{\text{нач}} &= \dfrac{p_2(V_3 - V_2)}{S(p_3 - p_2)}; & \Delta x_{23}^{\text{кон}} &= \dfrac{p_3(V_3 - V_2)}{S(p_3 - p_2)};\\ \Delta x_{31}^{\text{нач}} &= \dfrac{p_3(V_3 - V_1)}{S(p_3 - p_1)}; & \Delta x_{31}^{\text{кон}} &= \dfrac{p_1(V_3 - V_1)}{S(p_3 - p_1)}. \end{aligned}\]