Массивная нить на трубе с грузами

Нить нерастяжима, поэтому грузы движутся с одинаковым по модулю ускорением. Запишите второй закон Ньютона для каждого груза и закон сохранения энергии для всей системы, учитывая, что масса нити на каждом участке своя.

Так как нить нерастяжима, абсолютная величина ускорений грузов в конечном положении одинакова. Обозначим её через \(a\) и запишем второй закон Ньютона в проекции на направление вектора \(\vec g\): \[-Ma = -T_1 + Mg \;\Rightarrow\; T_1 = Mg + Ma, \qquad Ma = -T_2 + Mg \;\Rightarrow\; T_2 = Mg - Ma.\] Разность сил равна: \[\Delta T = T_1 - T_2 = 2Ma.\]

Скорость грузов \(V\) в конечном положении найдём из закона сохранения энергии. Работа силы тяжести \(A\) равна убыли потенциальной энергии \(U_1 - U_2\): \[\frac{(2M + m)V^2}{2} = U_1 - U_2 = A = A_1 + A_2 + A_3.\] Работа сил тяжести грузов \(A_1 = -Mgx\) и \(A_2 = +Mgx\) взаимно компенсируется, а работа \(A_3\) при перемещении нити (её конечное положение получается из начального перемещением вниз участка длины \(x\) с вертикальной составляющей перемещения \(x + h\)) равна \[A_3 = \frac{m}{L}\,x\,g\,(x + h).\] Поэтому \[V^2 = \frac{2mgx(x + h)}{(2M + m)L}.\] Для ускорения рассмотрим малое приращение \(\Delta x\) и соответствующее приращение скорости \(\Delta V\); вычитая законы сохранения энергии и переходя к пределу \(\Delta t \to 0\), получаем \[a = \frac{mg(2x + h)}{(2M + m)L}.\] Тогда \[\Delta T = 2Ma = \frac{2mMg(2x + h)}{(2M + m)L}.\] Подставляя числа, получаем \[\Delta T = \frac{2\cdot 0{,}01\cdot 0{,}02\cdot 10\cdot 0{,}5}{0{,}05\cdot 2{,}5} = 1{,}6\cdot 10^{-2}\ \text{Н} = 16\ \text{мН}.\]