Шар пролетает сквозь подвижный куб

Шар и куб движутся с одной горизонтальной скоростью, пока шар внутри куба. Затем шар подлетает вверх и падает обратно в куб; для времени полёта и горизонтального смещения используйте законы сохранения импульса и энергии.

Шар и куб будут двигаться с одной скоростью всё время, пока шар находится внутри куба. В силу закона сохранения импульса горизонтальная скорость куба и шара после столкновения не равна нулю (куб поедет) и определяется как \[v_1 = v_0\frac{m}{M + m}.\] Теперь шар будет иметь вертикальную составляющую скорости \(v_2\). Поскольку потерь на трение нет, используем закон сохранения энергии: до столкновения кинетическая энергия шара равна \(E_0 = \dfrac{mv_0^2}{2}\), после столкновения куб получает энергию \(E_1 = \dfrac{Mv_1^2}{2}\), поэтому \(E_2 = E_0 - E_1 = \dfrac{m(v_1^2 + v_2^2)}{2}\). Отсюда \[mv_0^2 - Mv_1^2 = m(v_1^2 + v_2^2) \;\Rightarrow\; v_2 = v_0\sqrt{\frac{M}{M + m}}.\] Время полёта шара «в воздухе» \(t_2 = \dfrac{2v_2}{g}\). Тогда горизонтальное расстояние, пройденное шаром в воздухе, равно \[x = v_1 t_2 = \frac{2v_0^2}{g}\sqrt{\frac{m^2M}{(m + M)^3}}.\] Когда шар возвращается в полость куба, горизонтальная проекция его скорости направлена в обратную сторону относительно горизонтальной составляющей скорости в момент первого попадания в куб (куб продолжает движение в том же направлении). Горизонтальная скорость после повторного взаимодействия шара с кубом определяется законом сохранения импульса: \[v_3 = v_0\frac{m - M}{m + M}.\] Тогда время возвращения шара в исходную позицию равно \[t_3 = \frac{x}{|v_3|} = \frac{2v_0}{g}\sqrt{\frac{m^2M}{(m + M)(M - m)^2}}.\] Поскольку шар поднимается гораздо выше высоты куба, временем, проведённым в кубе, можно пренебречь по сравнению с временем полёта шара. Тогда искомое время равно \(t_2 + t_3\): \[t = \frac{2v_0}{g}\sqrt{\frac{M}{m + M}}\left(1 + \sqrt{\frac{m^2}{(M - m)^2}}\right) = \frac{2v_0}{g}\sqrt{\frac{M}{m + M}}\cdot\frac{M}{M - m}.\] Вводя отношение масс \(\beta = M/m\), получаем итоговый ответ: \[t = \frac{2v_0}{g}\sqrt{\frac{\beta}{1 + \beta}}\cdot\frac{\beta}{\beta - 1}.\]