Вибрация

Трение направлено против скорости бруска относительно поверхности, а эта скорость меняется со знаком каждый полупериод; усредняйте силу трения по периоду.

1) \(\mu g\tau\ll v\);  2) \(F=0\) при \(|v|<u\), \(F=\mu m g\) при \(|v|>u\);  3) \(F=\mu m g\,v/\sqrt{v^2+u^2}\);  5) при \(u<w_0\) положение покоя неустойчиво и брусок приобретает скорость \(u\), при \(u>w_0\) скорость остаётся равной \(0\).

1) \(\mu g\tau\ll v\).

2) \(F=0\) при \(|v|<u\); \(F=\mu m g\) при \(|v|>u\).

3) Компонента силы трения вдоль \(x\) в среднем сокращается, остаётся компонента вдоль \(y\): \[F=\frac{\mu m g\,v}{\sqrt{v^2+u^2}}.\]

4) \(F=[\mu(v+u)+\mu(v-u)]\,m g\), если \(v>u\), и \(F=[\mu(u+v)-\mu(u-v)]\,m g\), если \(v<u\) (\(F>0\) означает, что \(F\) и \(v\) противоположны по направлению). Легко видеть, что при малых значениях \(v\) сила начинает линейно убывать [при \(F(v=0)=0\)] (\(F<0\) означает, что сила и скорость направлены одинаково). При \(u=v\) график испытывает скачок, \(F\) становится положительной и начинает убывать. На приложенном графике приведён эскиз эффективного коэффициента трения; построение основано на длинах \(\mu_{k1}=\mu(w_0/2)-\mu(w_0)\), \(\mu_{k2}=\mu(w_0/4)-\mu(5w_0/4)\) и \(\mu_{k3}=\mu(0)-\mu(3w_0/2)\).

На рисунке: \(\mu_{\text{efekt}}\) — эффективный коэффициент трения (в оригинале «efekt»).

5) Положение покоя неустойчиво, если \(u<w_0\): частица (брусок) приобретает (устойчивую) скорость \(u\). Если \(u>w_0\), положение покоя устойчиво и скорость бруска остаётся равной \(0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.