Ребристые поверхности

Рассмотрим сдвиг верхнего тела вдоль горизонтальной поверхности нижнего тела на ширину \(l\) одного ребра (см. рисунок).

Пусть для того, чтобы сдвинуть тело на половину ширины ребра («приподнять» его), нам нужно приложить в горизонтальном направлении силу \(f\). Так как по условию задачи верхнее тело движется с постоянной (в среднем) скоростью, то тангенциальная (параллельная поверхности ребра) компонента силы \(f\) должна уравновешивать тангенциальную компоненту силы тяжести \(mg\). Обозначив угол между образующими ребро гранями через \(\alpha\), получаем: \[f\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\alpha}{2}\right) = mg\cos\dfrac{\alpha}{2},\quad\text{откуда}\quad f = mg\operatorname{ctg}\dfrac{\alpha}{2}.\] Работа силы \(f\) на данном участке пути равна \(A = f\dfrac{l}{2}\).

На второй половине пути, когда верхнее тело «скатывается под горку», для его смещения на вторую половину ширины ребра не нужно прикладывать никаких внешних сил — тело движется под действием силы тяжести, а запасённая на первом участке потенциальная энергия при соударении переходит в тепло. Следовательно, средняя сила, необходимая для перемещения тела на ширину \(l\) ребра, равна \[F = \dfrac{A}{l} = \dfrac{f}{2} = \dfrac{mg}{2}\operatorname{ctg}\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{mgh}{l}.\] Заметим, что эффективный коэффициент трения равен \[\mu = \dfrac{F}{mg} = \dfrac{h}{l} = nh,\] где \(n = 1/l\) — число рёбер на единицу длины поверхности.