Карандаш в ванне

Пусть \(L\) — длина карандаша, \(S\) — площадь его поперечного сечения, \(\alpha\) — угол при основании наклонной плоскости, образующей стенку ванны (см. рис. 1.245).

Предположим, что нижний конец карандаша перестал давить на стенку ванны тогда, когда в воду погрузилась \(x\)-я часть карандаша (отметим, что \(0 < x < 1\)). В этот момент карандаш опирается на стенку только верхним концом (точка \(O\)), и на него, помимо силы реакции опоры и силы натяжения нити, действуют сила тяжести \(F_{\text{т}} = \rho_{\text{к}}gSL\), приложенная к середине карандаша, и сила Архимеда \(F_{\text{А}} = \rho_{\text{в}}gSLx\), приложенная к середине его погружённой части. Карандаш будет находиться в равновесии, если сумма действующих на него моментов сил, вычисленных относительно оси, проходящей через точку \(O\) перпендикулярно плоскости рисунка, будет равна нулю. Плечо силы тяжести в рассматриваемый момент равно \((L\cos\alpha)/2\), плечо силы Архимеда равно \(\left(L - \dfrac{Lx}{2}\right)\cos\alpha\). Значит, условие равновесия карандаша имеет вид \[\rho_{\text{к}}gSL\cdot\dfrac{L\cos\alpha}{2} - \rho_{\text{в}}gSLx\cdot\dfrac{L\cos\alpha}{2}\cdot(2 - x) = 0.\] С учётом того, что \(\rho_{\text{к}}/\rho_{\text{в}} = 3/4\), полученное уравнение можно переписать следующим образом: \[x^2 - 2x + \dfrac{3}{4} = 0.\] Оно имеет два корня, из которых наложенному на \(x\) ограничению удовлетворяет только один: \(x = 1/2\). Значит, для того, чтобы нижний конец карандаша перестал касаться стенки ванны, его нужно погрузить в воду больше, чем наполовину.