Три пластины с диэлектриком

Закон сохранения заряда даёт одно уравнение. Второе получается из условия, что крайние пластины, соединённые проводом, имеют одинаковый потенциал: разность потенциалов между ними равна нулю.

По закону сохранения заряда имеем: \[q_1 + q_2 = 2q.\] Введём поверхностные плотности зарядов на пластинах: \(\sigma_1 = q_1/S\), \(\sigma_2 = q_2/S\), \(\sigma = q/S\), где \(S\) — площадь пластин. Обозначим цифрой 1 область между левой и средней пластинами, цифрой 2 — область между средней и правой. Направим ось \(x\) от левой пластины к правой. Напряжённость электрического поля между пластинами направлена по или против этой оси. Для проекции напряжённости на ось \(x\) в области 1 имеем: \[E_{1x} = \frac{\sigma_1 + \sigma - \sigma_2}{2\varepsilon\varepsilon_0},\] где \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная. В области 2: \[E_{2x} = \frac{\sigma_1 - \sigma - \sigma_2}{2\varepsilon_0}.\] Мысленно перенесём положительный пробный заряд \(e\) вдоль оси \(x\) с левой пластины на правую. При этом работа сил электрического поля равна: \[A = eE_{1x}d + eE_{2x}d = ed\,(E_{1x} + E_{2x}),\] где \(d\) — расстояние между соседними пластинами. Та же работа может быть записана в виде \(A = e(\varphi_1 - \varphi_2)\), где \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) — потенциалы левой и правой пластин. Приравнивая выражения для работы, получаем: \[\varphi_1 - \varphi_2 = d\,(E_{1x} + E_{2x}).\] Крайние пластины, соединённые проводом, образуют единый проводник, потенциал которого одинаков во всех его точках. Поэтому \(\varphi_1 = \varphi_2\), и \[E_{1x} + E_{2x} = 0.\] Подставляя сюда выражения для напряжённостей и переходя к зарядам пластин, получаем: \[\frac{\sigma_1 + \sigma - \sigma_2}{\varepsilon} + \sigma_1 - \sigma - \sigma_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad q_1 + q - q_2 + \varepsilon\,(q_1 - q - q_2) = 0,\] \[(q_1 - q_2)(\varepsilon + 1) = q(\varepsilon - 1) \quad\Rightarrow\quad q_1 - q_2 = \frac{q(\varepsilon - 1)}{\varepsilon + 1}.\] Таким образом, имеем систему двух уравнений для двух неизвестных зарядов \(q_1\) и \(q_2\): \[\begin{cases} q_1 + q_2 = 2q \\ q_1 - q_2 = q(\varepsilon - 1)/(\varepsilon + 1) \end{cases}\] Складывая и вычитая уравнения, получаем: \[q_1 = \frac{q(3\varepsilon + 1)}{2(\varepsilon + 1)}, \qquad q_2 = \frac{q(\varepsilon + 3)}{2(\varepsilon + 1)}.\] Отношение зарядов равно: \[x = \frac{q_1}{q_2} = \frac{3\varepsilon + 1}{\varepsilon + 3} = \frac{13}{7} \approx 1{,}86.\]