Картофельная пушка

Максимальная энергия передаётся картофелю, если газ расширяется до атмосферного давления. Не забудьте вычесть работу, которую картофель совершает против атмосферы.

Пока давление внутри цилиндрической пушки больше, чем давление воздуха извне, картофель будет ускоряться. Следовательно, максимальная энергия будет передана картофелю, если цилиндр будет достаточно длинным для того, чтобы конечное давление внутри цилиндра составляло \(P_{\text{атм}}\). Для идеального газа верно \(PV = \nu R T\), а энергия идеального двухатомного газа равна \(E = C_v \nu T\).

Обозначим полный объём цилиндра как \(V_f\). Максимальная энергия передаётся картофелю, когда конечное давление составляет атмосферное, поэтому работа, выполняемая газом над картофелем, составляет \[A = C_v\left(P_0 V_0 - P_{\text{атм}} V_f\right).\] Но картофель движется против воздуха, поэтому фактическая энергия для картофеля \[E_{\max} = C_v\left(P_0 V_0 - P_{\text{атм}} V_f\right) - P_{\text{атм}}(V_f - V_0).\] Связь, определяющая \(V_f\), следует из адиабатического расширения для \(\gamma = C_p/C_v\): \[V_f = V_0\left(\frac{P_0}{P_{\text{атм}}}\right)^{1/\gamma}.\] Подставляя это выражение, получаем конечное выражение для энергии: \[E_{\max} = V_0\left(\frac{5}{2}P_0 + P_{\text{атм}} - \frac{7}{2}P_{\text{атм}}^{2/7}P_0^{5/7}\right) \approx 2078\ \text{Дж}.\]

Длина трубы определяется как отношение полного объёма цилиндрической пушки к площади её сечения: \[L = \frac{V_f}{S} = \frac{V_0}{S}\left(\frac{P_0}{P_{\text{атм}}}\right)^{5/7} \approx 124\ \text{см}.\]