Гелий под поршнем в вакуумной камере

Запишите первое начало термодинамики для гелия и баланс энергии поршня. Учтите, что работа внешнего давления воздуха и работа гелия на поршень входят в баланс по-разному. Адиабатическое уравнение здесь неприменимо: процесс необратим.

Пусть \(V_0\) и \(V\) — начальный и конечный объёмы гелия, \(P\) — конечное давление, \(h_0\) и \(h\) — начальная и конечная высоты поршня над дном цилиндра: \[V_0 = S h_0, \qquad V = S h.\]

Запишем первое начало термодинамики для гелия: \[0 = \frac{3}{2}\nu R T - \frac{3}{2}\nu R T_0 + A,\] где \(\nu\) — число молей, \(A\) — работа силы давления гелия на поршень. Рассмотрим баланс энергии для поршня: \[mg(h - h_0) = A + A_0,\] где \(A_0\) — работа постоянной силы внешнего давления \(P_0 S\). Учитывая, что поршень перемещается вниз на расстояние \((h_0 - h)\), получаем: \[A_0 = P_0 S (h_0 - h), \qquad A = mg(h - h_0) - A_0 = (h - h_0)(P_0 S + mg).\] Подставим выражение для \(A\) в уравнение первого начала термодинамики: \[0 = \frac{3}{2}\nu R T - \frac{3}{2}\nu R T_0 + (h - h_0)(P_0 S + mg).\] Соберём в левой части уравнения слагаемые, относящиеся к конечному состоянию, в правой — к начальному: \[\frac{3}{2}\nu R T + (P_0 S + mg)\, h = \frac{3}{2}\nu R T_0 + (P_0 S + mg)\, h_0.\] Запишем условие равновесия поршня в конечном состоянии: \(P S = P_0 S + mg\). Из уравнения состояния гелия имеем: \[(P_0 S + mg)\, h = P S h = P V = \nu R T, \qquad P_0 V_0 = P_0 S h_0 = \nu R T_0 \quad\Rightarrow\quad h_0 = \frac{\nu R T_0}{P_0 S}.\] Получаем: \[\frac{3}{2}\nu R T + \nu R T = \frac{3}{2}\nu R T_0 + (P_0 S + mg)\frac{\nu R T_0}{P_0 S} \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}T = \frac{3}{2}T_0 + T_0\left(1 + \frac{mg}{P_0 S}\right),\] откуда \[T = T_0\left(1 + \frac{2mg}{5 P_0 S}\right).\] Подставим числовые значения в системе СИ: \[T = 300\left(1 + \frac{2\cdot 2\cdot 10}{5\cdot 10^3\cdot 10^{-2}}\right) = 300\cdot\frac{9}{5} = 540\ \text{К}.\] Следует отметить, что в данной задаче нельзя пользоваться уравнением адиабаты, поскольку рассматриваемый процесс является необратимым. Значение температуры, найденное из уравнения адиабаты, сильно отличается от значения, полученного выше (для гелия \(\gamma = 5/3\) дало бы \(T = 300\cdot 3^{2/5} \approx 466\) К).