Курчатов, 2020/21, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Удар делится на две части: нормальная компонента импульса меняется на \(2p_\perp\), а тангенциальная — за счёт силы трения, пропорциональной силе реакции. Рассмотрите два случая: трение не успевает погасить тангенциальную компоненту или успевает.

Решение

При упругом соударении кубика со стенкой составляющая импульса кубика, нормальная к стенке, изменится на величину \[\Delta p_\perp = 2p_\perp.\] Составляющая импульса, параллельная плоскости стенки, изменится из-за силы трения: \[\Delta p_\parallel = F_{\text{тр}}\,\Delta t.\] С другой стороны, сила трения пропорциональна по модулю силе реакции стенки: \(F_{\text{тр}} = \mu N\), где \(N\) — сила реакции стены. За время соударения \(\Delta t\) сила реакции меняет нормальную компоненту импульса кубика на \(\Delta p_\perp\), следовательно, сила трения, пропорциональная по модулю силе реакции в каждый момент времени, изменит другую компоненту импульса на \(\mu\,\Delta p_\perp\) (по модулю). Однако сила трения действует на кубик только до тех пор, пока у него есть ненулевая компонента скорости вдоль поверхности кубика. Поэтому возникает два значимых случая:

1) \(\mu\,\Delta p_\perp < p_\parallel\). В этом случае после соударения новые компоненты импульса будут \(p'_\perp = -p_\perp\), \(p'_\parallel = p_\parallel - 2\mu p_\perp\).

2) \(\mu\,\Delta p_\perp > p_\parallel\). Очевидно, что сила трения не может разгонять кубик в обратную сторону, следовательно, во время соударения компонента \(p_\parallel\) зануляется, и новые компоненты импульса будут: \(p'_\perp = -p_\perp\), \(p'_\parallel = 0\).

Теперь можно вычислить углы отражения для каждого из случаев: \[\operatorname{tg}\beta = \frac{|p'_\parallel|}{|p'_\perp|}.\] В случае 1 имеем: \[\operatorname{tg}\beta = \frac{p_\parallel - 2\mu p_\perp}{p_\perp} = \operatorname{tg}\alpha - 2\mu.\] Подставляя значение \(\mu\), получаем \[\operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}30^\circ.\] Случай 2 отвечает \(\operatorname{tg}\beta = 0\), при этом в случае, когда \(\mu\,\Delta p_\perp = p_\parallel\), оказывается, что \(\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}30^\circ\), так что зависимость угла отражения от угла падения непрерывна.

Подсказка

Запишите первое начало термодинамики для гелия и баланс энергии поршня. Учтите, что работа внешнего давления воздуха и работа гелия на поршень входят в баланс по-разному. Адиабатическое уравнение здесь неприменимо: процесс необратим.

Ответ

\(T = 540\) K.

Решение

Пусть \(V_0\) и \(V\) — начальный и конечный объёмы гелия, \(P\) — конечное давление, \(h_0\) и \(h\) — начальная и конечная высоты поршня над дном цилиндра: \[V_0 = S h_0, \qquad V = S h.\]

Запишем первое начало термодинамики для гелия: \[0 = \frac{3}{2}\nu R T - \frac{3}{2}\nu R T_0 + A,\] где \(\nu\) — число молей, \(A\) — работа силы давления гелия на поршень. Рассмотрим баланс энергии для поршня: \[mg(h - h_0) = A + A_0,\] где \(A_0\) — работа постоянной силы внешнего давления \(P_0 S\). Учитывая, что поршень перемещается вниз на расстояние \((h_0 - h)\), получаем: \[A_0 = P_0 S (h_0 - h), \qquad A = mg(h - h_0) - A_0 = (h - h_0)(P_0 S + mg).\] Подставим выражение для \(A\) в уравнение первого начала термодинамики: \[0 = \frac{3}{2}\nu R T - \frac{3}{2}\nu R T_0 + (h - h_0)(P_0 S + mg).\] Соберём в левой части уравнения слагаемые, относящиеся к конечному состоянию, в правой — к начальному: \[\frac{3}{2}\nu R T + (P_0 S + mg)\, h = \frac{3}{2}\nu R T_0 + (P_0 S + mg)\, h_0.\] Запишем условие равновесия поршня в конечном состоянии: \(P S = P_0 S + mg\). Из уравнения состояния гелия имеем: \[(P_0 S + mg)\, h = P S h = P V = \nu R T, \qquad P_0 V_0 = P_0 S h_0 = \nu R T_0 \quad\Rightarrow\quad h_0 = \frac{\nu R T_0}{P_0 S}.\] Получаем: \[\frac{3}{2}\nu R T + \nu R T = \frac{3}{2}\nu R T_0 + (P_0 S + mg)\frac{\nu R T_0}{P_0 S} \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}T = \frac{3}{2}T_0 + T_0\left(1 + \frac{mg}{P_0 S}\right),\] откуда \[T = T_0\left(1 + \frac{2mg}{5 P_0 S}\right).\] Подставим числовые значения в системе СИ: \[T = 300\left(1 + \frac{2\cdot 2\cdot 10}{5\cdot 10^3\cdot 10^{-2}}\right) = 300\cdot\frac{9}{5} = 540\ \text{К}.\] Следует отметить, что в данной задаче нельзя пользоваться уравнением адиабаты, поскольку рассматриваемый процесс является необратимым. Значение температуры, найденное из уравнения адиабаты, сильно отличается от значения, полученного выше (для гелия \(\gamma = 5/3\) дало бы \(T = 300\cdot 3^{2/5} \approx 466\) К).

Подсказка

Максимальная энергия передаётся картофелю, если газ расширяется до атмосферного давления. Не забудьте вычесть работу, которую картофель совершает против атмосферы.

Ответ

1) \(E_{\max} \approx 2078\) Дж;  2) \(L \approx 124\) см.

Решение

Пока давление внутри цилиндрической пушки больше, чем давление воздуха извне, картофель будет ускоряться. Следовательно, максимальная энергия будет передана картофелю, если цилиндр будет достаточно длинным для того, чтобы конечное давление внутри цилиндра составляло \(P_{\text{атм}}\). Для идеального газа верно \(PV = \nu R T\), а энергия идеального двухатомного газа равна \(E = C_v \nu T\).

Обозначим полный объём цилиндра как \(V_f\). Максимальная энергия передаётся картофелю, когда конечное давление составляет атмосферное, поэтому работа, выполняемая газом над картофелем, составляет \[A = C_v\left(P_0 V_0 - P_{\text{атм}} V_f\right).\] Но картофель движется против воздуха, поэтому фактическая энергия для картофеля \[E_{\max} = C_v\left(P_0 V_0 - P_{\text{атм}} V_f\right) - P_{\text{атм}}(V_f - V_0).\] Связь, определяющая \(V_f\), следует из адиабатического расширения для \(\gamma = C_p/C_v\): \[V_f = V_0\left(\frac{P_0}{P_{\text{атм}}}\right)^{1/\gamma}.\] Подставляя это выражение, получаем конечное выражение для энергии: \[E_{\max} = V_0\left(\frac{5}{2}P_0 + P_{\text{атм}} - \frac{7}{2}P_{\text{атм}}^{2/7}P_0^{5/7}\right) \approx 2078\ \text{Дж}.\]

Длина трубы определяется как отношение полного объёма цилиндрической пушки к площади её сечения: \[L = \frac{V_f}{S} = \frac{V_0}{S}\left(\frac{P_0}{P_{\text{атм}}}\right)^{5/7} \approx 124\ \text{см}.\]

Подсказка

Закон сохранения заряда даёт одно уравнение. Второе получается из условия, что крайние пластины, соединённые проводом, имеют одинаковый потенциал: разность потенциалов между ними равна нулю.

Ответ

\(x = \dfrac{3\varepsilon + 1}{\varepsilon + 3} = \dfrac{13}{7} \approx 1{,}86\).

Решение

По закону сохранения заряда имеем: \[q_1 + q_2 = 2q.\] Введём поверхностные плотности зарядов на пластинах: \(\sigma_1 = q_1/S\), \(\sigma_2 = q_2/S\), \(\sigma = q/S\), где \(S\) — площадь пластин. Обозначим цифрой 1 область между левой и средней пластинами, цифрой 2 — область между средней и правой. Направим ось \(x\) от левой пластины к правой. Напряжённость электрического поля между пластинами направлена по или против этой оси. Для проекции напряжённости на ось \(x\) в области 1 имеем: \[E_{1x} = \frac{\sigma_1 + \sigma - \sigma_2}{2\varepsilon\varepsilon_0},\] где \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная. В области 2: \[E_{2x} = \frac{\sigma_1 - \sigma - \sigma_2}{2\varepsilon_0}.\] Мысленно перенесём положительный пробный заряд \(e\) вдоль оси \(x\) с левой пластины на правую. При этом работа сил электрического поля равна: \[A = eE_{1x}d + eE_{2x}d = ed\,(E_{1x} + E_{2x}),\] где \(d\) — расстояние между соседними пластинами. Та же работа может быть записана в виде \(A = e(\varphi_1 - \varphi_2)\), где \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) — потенциалы левой и правой пластин. Приравнивая выражения для работы, получаем: \[\varphi_1 - \varphi_2 = d\,(E_{1x} + E_{2x}).\] Крайние пластины, соединённые проводом, образуют единый проводник, потенциал которого одинаков во всех его точках. Поэтому \(\varphi_1 = \varphi_2\), и \[E_{1x} + E_{2x} = 0.\] Подставляя сюда выражения для напряжённостей и переходя к зарядам пластин, получаем: \[\frac{\sigma_1 + \sigma - \sigma_2}{\varepsilon} + \sigma_1 - \sigma - \sigma_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad q_1 + q - q_2 + \varepsilon\,(q_1 - q - q_2) = 0,\] \[(q_1 - q_2)(\varepsilon + 1) = q(\varepsilon - 1) \quad\Rightarrow\quad q_1 - q_2 = \frac{q(\varepsilon - 1)}{\varepsilon + 1}.\] Таким образом, имеем систему двух уравнений для двух неизвестных зарядов \(q_1\) и \(q_2\): \[\begin{cases} q_1 + q_2 = 2q \\ q_1 - q_2 = q(\varepsilon - 1)/(\varepsilon + 1) \end{cases}\] Складывая и вычитая уравнения, получаем: \[q_1 = \frac{q(3\varepsilon + 1)}{2(\varepsilon + 1)}, \qquad q_2 = \frac{q(\varepsilon + 3)}{2(\varepsilon + 1)}.\] Отношение зарядов равно: \[x = \frac{q_1}{q_2} = \frac{3\varepsilon + 1}{\varepsilon + 3} = \frac{13}{7} \approx 1{,}86.\]

Подсказка

Найдите напряжённость поля одного заряженного слоя по теореме Гаусса и силу притяжения слоёв. Затем выразите напряжение как функцию заряда \(Q\) и найдите его максимум.

Ответ

\(k > \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 \dfrac{V_n^2\,\varepsilon\varepsilon_0 S}{d_0^3}\).

Решение

В первую очередь определим напряжение между двумя слоями мембраны нейрона \(V = Ed\). Для этого потребуется определить напряжённость электрического поля внутри мембраны и изменённое после наведения заряда расстояние между её слоями. Одна пластина площадью \(S\) с распределённым на ней зарядом, модуль которого обозначим за \(Q\), согласно теореме Гаусса создаёт электрическое поле напряжённостью \[E_1 = \frac{Q}{2\varepsilon\varepsilon_0 S}.\] Значит, сила, возникающая между двумя такими слоями, будет равна \[F_E = Q E_1 = \frac{Q^2}{2\varepsilon\varepsilon_0 S}.\] Данная сила уравновешивается силой, возникающей при сжатии мембраны: \(F_k = kx\), где \(x = d_0 - d\). Приравнивая выражения, получим новое расстояние между слоями: \[d = d_0 - \frac{Q^2}{2\varepsilon\varepsilon_0 S k}.\] В свою очередь поле внутри мембраны между слоями характеризуется напряжённостью \[E = \frac{Q}{2\varepsilon\varepsilon_0 S} - \frac{-Q}{2\varepsilon\varepsilon_0 S} = \frac{Q}{\varepsilon\varepsilon_0 S}.\] Значит, напряжение в области между слоями мембраны равно: \[V = Ed = \frac{Q}{\varepsilon\varepsilon_0 S}\left(d_0 - \frac{Q^2}{2\varepsilon\varepsilon_0 S k}\right).\] Как мы видим, данное выражение зависит от модуля заряда \(Q\) кубически. С ростом заряда на поверхности мембраны, связанным с работой ионной помпы, напряжение будет расти и достигнет определённого максимума \(V_{\max}\), после чего будет уменьшаться. Ионная помпа прекратит работу, если \(V_{\max} > V_n\); в противном случае помпы продолжат перегонять ионы до тех пор, пока увеличившийся заряд не разрушит клеточную мембрану (в таком случае \(d\) станет равно \(0\)). Найдём \(V_{\max}\), продифференцировав функцию напряжения по заряду: \[\frac{dV}{dQ} = \frac{d_0}{\varepsilon\varepsilon_0 S} - \frac{3Q^2}{2\varepsilon^2\varepsilon_0^2 S^2 k} = 0 \quad\Rightarrow\quad Q_{\max} = \sqrt{\frac{2 d_0 \varepsilon\varepsilon_0 S k}{3}},\] \[V_{\max} = \frac{2d_0}{3}\sqrt{\frac{2kd_0}{3\varepsilon\varepsilon_0 S}} = \left(\frac{2d_0}{3}\right)^{3/2}\sqrt{\frac{k}{\varepsilon\varepsilon_0 S}}.\] Ограничивая полученное выражение значением \(V_n\) и возводя выражение в квадрат, получим граничное выражение для жёсткости \(k\): \[k > \left(\frac{3}{2}\right)^3 \frac{V_n^2\,\varepsilon\varepsilon_0 S}{d_0^3}.\]