Цепная реакция

Показания весов складываются из двух частей: веса уже лежащей на чаше части цепочки и силы, передаваемой чаше при остановке падающих звеньев. Рассмотрите каждую часть отдельно.

Заметим, что показания весов пропорциональны силе, с которой цепочка действует на чашу. По третьему закону Ньютона такая же сила действует со стороны чаши на цепочку. Выведем зависимость силы реакции опоры от времени. Эта сила включает в себя две составляющие: динамическую (от тормозящих до полной остановки фрагментов цепочки) и статическую (от той части цепочки, которая уже лежит неподвижно на чаше весов). Зависимость скорости от времени \(v = gt\), выпавшей длины от времени \(h = \dfrac{gt^2}{2}\).

Статическая часть силы реакции \[F_{\text{ст}} = \dfrac{m\,gt^2}{L\,2}\,g = \dfrac{mg^2t^2}{2L}.\] Для нахождения динамической составляющей рассмотрим изменение импульса малого фрагмента цепочки \(\Delta m\), скорость которого уменьшается до нуля. Для него второй закон Ньютона в импульсной форме имеет вид: \[(v - 0)\Delta m = F_{\text{дин}} \Delta t,\] где \(\Delta m = m\dfrac{v\Delta t}{L}\), откуда динамическая сила \(F_{\text{дин}}\) равна: \[F_{\text{дин}} = \dfrac{mv^2}{L} = \dfrac{mg^2t^2}{L}.\] Полная сила \[F = F_{\text{ст}} + F_{\text{дин}} = \dfrac{3mg^2t^2}{2L}\] является монотонно возрастающей функцией времени \(t\). Заметим, что время падения цепочки \(t_1 = \sqrt{\dfrac{2L}{g}}\). К моменту времени \(t_1\) сила реакции достигает максимального значения \(F_{\max} = 3mg\). После прекращения падения на чашу весов будет действовать только статическая сила, и весы покажут вес покоящейся цепочки, равный по модулю \(mg\).

Из таблицы видно, что в третьем измерении вес цепочки уменьшился, это означает, что падение к этому моменту прекратилось и масса цепочки 100 г. Во втором и первом измерении на чашу упала не вся цепочка (показания весов меньше 300 г). Следовательно, падение длилось дольше 0,4 с, но не более 0,6 с. Сила реакции при втором измерении (можно и по первому измерению) равна удвоенной силе тяжести \[2mg = \dfrac{3mg^2t_2^2}{2L},\] откуда \[L = \dfrac{3}{4} g t_2^2 = 1{,}2~\text{м}, \quad t_1 = \sqrt{\dfrac{2L}{g}} = 0{,}49~\text{с}.\]