Цилиндр в мерном стакане

Изменение уровня воды определяется объёмом воды, вытесненной погружённой частью цилиндра и «шайбой» воды между его стенками и стаканом. Постройте зависимость \(V_{\text{в}}(V_{\text{н}})\) и используйте её линейный участок.

Пусть \(h_0\) — начальный уровень воды в стакане (в единицах длины), \(h_{\text{н}}\) — уровень нижнего торца цилиндра, \(h_{\text{в}}\) — уровень воды в стакане (все уровни отсчитываются от дна стакана) (рис. 14). Объём воды, вытесненной цилиндром из области ниже \(h_0\), образовал водяную «шайбу» толщиной \((h_{\text{в}} - h_0)\) с внешним сечением \(S_1\) и внутренним сечением \(S_2\): \[(h_0 - h_{\text{н}}) S_2 = (h_{\text{в}} - h_0)(S_1 - S_2).\] Учитывая, что высоты \(h_{\text{н}}\), \(h_0\), \(h_{\text{в}}\) связаны со значениями объёмов, отсчитываемыми по шкале мерного стакана \(V_{\text{н}}\), \(V_0\), \(V_{\text{в}}\) соотношениями \(V_{\text{н}} = S_1 h_{\text{н}}\), \(V_0 = S_1 h_0\), \(V_{\text{в}} = S_1 h_{\text{в}}\), получаем из предыдущего соотношения зависимость \(V_{\text{в}}(V_{\text{н}})\) в виде: \[V_{\text{в}} = \dfrac{S_1}{S_1 - S_2} V_0 - \dfrac{S_2}{S_1 - S_2} V_{\text{н}}.\] График этой зависимости, построенный по данным эксперимента, представлен на рис. 15.

Из графика видно, что при \(V_{\text{в}} = 150\) мл уровень воды перестаёт изменяться. При этом уровне цилиндр полностью погрузился в воду. Этот момент наступил при \(V_{\text{н}} = 25\) мл, то есть высоте цилиндра соответствует \(L = 150 - 25 = 125\) ед. шкалы стакана. Из условия задачи следует, что в начальном состоянии, при свободном плавании цилиндра, высоте его погружённой в воду части \(L_0\) соответствует \(V_{0\text{в}} - V_{0\text{н}} = 120 - 70 = 50\) ед. шкалы стакана. Отсюда находим плотность дерева: \[\rho_{\text{д}} = \rho_{\text{в}} \dfrac{L_0}{L} = 400~\text{кг/м}^3.\] Из (4) следует, что угловой коэффициент наклона зависимости \(V_{\text{в}}(V_{\text{н}})\) равен: \[\dfrac{\Delta V_{\text{в}}}{\Delta V_{\text{н}}} = -\dfrac{S_2}{S_1 - S_2} = -\dfrac{1}{\frac{S_1}{S_2} - 1} = -\dfrac{2}{3}.\] Численное значение взято из графика. Следовательно, \(\dfrac{S_1}{S_2} = 2{,}5\) и \(\dfrac{D}{d} = \sqrt{\dfrac{S_1}{S_2}} \approx 1{,}58\).

Объём воды в стакане найдём из графика. Уровень \(V_0\) установится в тот момент, когда стержень будет полностью вынут из воды. Из (4) видно, что при \(V_{\text{н}} = V_0\) также \(V_{\text{в}}\) становится равным \(V_0\). Пунктирный график функции \(V_{\text{в}} = V_{\text{н}}\) пересекает график зависимости в точке \(V_0 = 100\) мл.