Телескоп Кеплера для близорукого и дальнозоркого

Объектив даёт изображение в своей фокальной плоскости. Окуляр должен построить из него мнимое изображение на расстоянии наилучшего зрения \(d\) от глаза: используйте формулу линзы для окуляра, у разных наблюдателей \(d\) разное.

1) \(x = \dfrac{F_2^2(d_2 - d_1)}{(d_1 + F_2)(d_2 + F_2)} = 3\text{ мм}\);  2) \(\Delta k = \dfrac{F_1}{d_1} - \dfrac{F_1}{d_2} = 4\).

1. Так как планета является протяжённым источником света, мысленно разобьём её видимую поверхность на малые элементы, каждый из которых будем считать светящейся точкой. Поскольку планета находится очень далеко, можно считать, что от каждой точки её поверхности в объектив идёт параллельный пучок лучей. Объектив собирает каждый такой пучок в точку, лежащую в фокальной плоскости. Эти точки образуют первичное изображение планеты в виде некоторого круга. Для каждого параллельного пучка достаточно рассмотреть один луч, идущий без преломления через оптический центр объектива. На рисунке показаны два таких луча, идущие от верхнего и нижнего краёв планеты. Угол \(\alpha\) между этими лучами есть угловой диаметр планеты. Изображения краёв получаются в точках \(A\) и \(B\), в которых лучи пересекают фокальную плоскость. Точка \(A\) — изображение верхнего края, точка \(B\) — нижнего. Таким образом, объектив строит действительное перевёрнутое изображение планеты. Найдём его диаметр \(D\), равный длине отрезка \(AB\). Используя малость угла \(\alpha\), получаем: \[\frac{D}{2} = F_1\,\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2} \approx F_1\cdot\frac{\alpha}{2} \quad\longrightarrow\quad D = F_1\alpha .\]

2. Первичное изображение играет роль источника света для наблюдателя, который рассматривает его в окуляр как в лупу. При этом окуляр располагается на расстоянии \(y < F_2\) от первичного изображения и строит мнимое изображение, которое также имеет форму круга. На рисунке диаметр этого круга показан пунктирным отрезком \(A_1B_1\). Точки \(A_1\) и \(B_1\) являются мнимыми изображениями точек \(A\) и \(B\) и лежат на продолжениях вспомогательных лучей, проведённых из \(A\) и \(B\) через оптический центр окуляра. Свет, выходящий из окуляра и попадающий в глаз наблюдателя, устроен так, как будто он испускается предметом, совпадающим с мнимым изображением. Если считать, что глаз расположен вплотную к окуляру, то расстояние от мнимого изображения до окуляра равно расстоянию наилучшего зрения \(d\). Таким образом, при наблюдении в телескоп наблюдатель видит перевёрнутое изображение планеты под углом зрения \(\beta\).

Найдём расстояние \(y\), угол \(\beta\) и угловое увеличение телескопа \(k\). По формуле линзы, записанной для окуляра, получаем: \[\frac{1}{y} - \frac{1}{d} = \frac{1}{F_2} \quad\longrightarrow\quad \frac{1}{y} = \frac{1}{F_2} + \frac{1}{d}, \qquad y = \frac{dF_2}{d + F_2} .\] Для малого угла \(\beta\) имеем: \[\frac{\beta}{2} \approx \mathrm{tg}\frac{\beta}{2} = \frac{D}{2y} \quad\longrightarrow\quad \beta = \frac{D}{y} = F_1\alpha\left(\frac{1}{F_2} + \frac{1}{d}\right).\] Угловое увеличение равно: \[k = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_1}{d} .\]

3. Для близорукого и дальнозоркого наблюдателей имеем: \[y_1 = \frac{d_1F_2}{d_1 + F_2}, \qquad y_2 = \frac{d_2F_2}{d_2 + F_2};\] \[k_1 = \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_1}{d_1}, \qquad k_2 = \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_1}{d_2} .\] Из формулы \(\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{F_2} + \dfrac{1}{d}\) следует, что при увеличении \(d\) расстояние \(y\) также увеличивается. Поэтому \(y_2 > y_1\). Это означает, что дальнозоркий наблюдатель должен выдвинуть окуляр на расстояние \[x = y_2 - y_1 = \frac{d_2F_2}{d_2 + F_2} - \frac{d_1F_2}{d_1 + F_2} = \frac{F_2^2(d_2 - d_1)}{(d_1 + F_2)(d_2 + F_2)} = 3\text{ мм} .\] Разность угловых увеличений равна: \[\Delta k = k_1 - k_2 = \frac{F_1}{d_1} - \frac{F_1}{d_2} = 4 .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.