Заземлённый шар и точечный заряд

Потенциал заземлённого шара равен нулю, в том числе в его центре; там индуцированные заряды лежат на одном расстоянии \(R\), и их потенциал зависит только от суммарного заряда \(Q\).

1) \(Q = -\dfrac{qR}{L} = -20\text{ нКл}\);  2) \(x = \dfrac{R^2}{L} = 1\text{ см}\);  3) \(F = \dfrac{kq^2RL}{(L^2 - R^2)^2} = 8\text{ мН}\).

1. Индуцированный заряд \(Q\) распределён по поверхности шара. Для того чтобы найти его, рассмотрим потенциал в центре шара \(O\): \[\varphi_0 = k\frac{q}{L} + \varphi'_0,\] \(\varphi'_0\) — потенциал электрического поля, создаваемого индуцированным зарядом. Разобьём поверхность шара на малые элементы и перенумеруем их индексом \(i\). Заряд элемента с номером \(i\) обозначим через \(\Delta Q_i\). Сумма всех таких зарядов равна заряду шара: \[\sum_i \Delta Q_i = Q .\] Учитывая, что все элементы находятся на расстоянии \(R\) от центра шара, получаем: \[\varphi'_0 = \sum_i k\frac{\Delta Q_i}{R} = \frac{k}{R}\sum_i \Delta Q_i = k\frac{Q}{R}, \qquad \varphi_0 = k\frac{q}{L} + k\frac{Q}{R} .\] Приравнивая потенциал \(\varphi_0\) нулю, находим заряд шара: \[\varphi_0 = 0 \quad\longrightarrow\quad Q = -\frac{qR}{L} = -20\text{ нКл} .\]

2. Поместим заряд \(Q\) в точку \(B\) и найдём расстояние \(x\), рассмотрев сначала простейшую точку \(C\), в которой отрезок \(OA\) пересекает поверхность шара. Потенциал электрического поля в этой точке равен: \[\varphi_C = k\frac{q}{L - R} + k\frac{Q}{R - x} = kq\left(\frac{1}{L - R} - \frac{R}{L(R - x)}\right).\] Приравнивая \(\varphi_C\) нулю, получаем: \[\varphi_C = 0 \quad\longrightarrow\quad \frac{1}{L - R} = \frac{R}{L(R - x)}, \qquad LR - Lx = LR - R^2, \qquad x = \frac{R^2}{L} .\] Покажем теперь, что найденное значение \(x\) обеспечивает равенство нулю потенциала в любой точке поверхности шара. Возьмём произвольную точку \(D\) на поверхности. Обозначим через \(\alpha\) угол между радиусом \(OD\) и отрезком \(OA\), через \(r_1\) и \(r_2\) длины отрезков \(AD\) и \(BD\). По теореме косинусов имеем: \[r_1^2 = L^2 + R^2 - 2LR\cos\alpha,\] \[r_2^2 = R^2 + x^2 - 2Rx\cos\alpha = R^2 + \frac{R^4}{L^2} - 2R\cdot\frac{R^2}{L}\cos\alpha = \frac{R^2}{L^2}\bigl(L^2 + R^2 - 2LR\cos\alpha\bigr),\] \[r_2^2 = \frac{R^2}{L^2}\,r_1^2 \quad\longrightarrow\quad r_2 = \frac{R}{L}\,r_1 .\] Потенциал электрического поля в точке \(D\) равен: \[\varphi_D = k\frac{q}{r_1} + k\frac{Q}{r_2} = k\frac{q}{r_1} - k\frac{qR}{L}\cdot\frac{L}{R\,r_1} = k\frac{q}{r_1} - k\frac{q}{r_1} = 0 .\] Таким образом, \[x = \frac{R^2}{L} = 1\text{ см} .\]

3. Поместив заряд \(Q\) в точку \(B\), находим абсолютную величину силы \(F\), с которой шар притягивает заряд \(q\): \[F = \frac{k|Q|q}{(L - x)^2} = \frac{kRq^2}{L\bigl(L - (R^2/L)\bigr)^2} = \frac{kq^2RL}{(L^2 - R^2)^2} = 8\text{ мН} .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.