Гелий под поршнем и груз

Переходы необратимы, поэтому адиабату использовать нельзя: записывайте первое начало термодинамики и баланс энергии поршня (с грузом) отдельно для переходов 1–2 и 2–3.

\(\Delta V = \dfrac{6k^2V_1}{25(1 + k)} = 11\text{ см}^3\).

1. Рассмотрим переход газа из состояния 1 в состояние 2. Обозначим через \(P_1\) и \(T_1\) давление и температуру газа в состоянии 1, через \(P_2\) и \(T_2\) давление и температуру в состоянии 2. Согласно первому началу термодинамики имеем: \[0 = \nu C_V(T_2 - T_1) + A_{12},\] \(\nu\) — количество молей газа, \(C_V\) — молярная теплоёмкость при постоянном объёме, \(A_{12}\) — работа газа. Запишем уравнение баланса энергии для поршня с грузом: \[(m_1 + m_2)g(h_2 - h_1) = A_{12},\] \(h_1\) и \(h_2\) — значения высоты поршня над дном цилиндра в состояниях 1 и 2. Обозначим через \(S\) площадь поршня и рассмотрим условия механического равновесия: \[P_1S = m_1 g, \qquad P_2S = (m_1 + m_2)g .\] Запишем также уравнение состояния газа: \[\begin{align*} P_1Sh_1 = \nu RT_1 &\quad\longrightarrow\quad \nu RT_1 = m_1 g h_1,\\ P_2Sh_2 = \nu RT_2 &\quad\longrightarrow\quad \nu RT_2 = (m_1 + m_2)g h_2, \end{align*}\] \(R\) — универсальная газовая постоянная. Используя полученные соотношения, выразим \(h_2\) через \(h_1\): \[\begin{align*} 0 &= \frac{C_V}{R}\bigl(\nu RT_2 - \nu RT_1\bigr) + (m_1 + m_2)g(h_2 - h_1),\\ 0 &= \frac{C_V}{R}\bigl((m_1 + m_2)g h_2 - m_1 g h_1\bigr) + (m_1 + m_2)g(h_2 - h_1). \end{align*}\]

После некоторых алгебраических преобразований получаем: \[h_2 = \left(1 - \frac{C_V}{C_P}\cdot\frac{k}{1 + k}\right)h_1,\] \(C_P = C_V + R\) — молярная теплоёмкость при постоянном давлении, \(k = m_2/m_1\).

2. Рассмотрим переход газа из состояния 2 в состояние 3. Обозначим через \(P_3\), \(T_3\) и \(h_3\) давление, температуру и высоту поршня над дном цилиндра в состоянии 3. Согласно первому началу термодинамики имеем: \[0 = \nu C_V(T_3 - T_2) + A_{23},\] \(A_{23}\) — работа газа. Уравнение баланса энергии для поршня: \[m_1 g(h_3 - h_2) = A_{23}.\] Условие механического равновесия и уравнение состояния газа: \[P_3S = m_1 g, \qquad P_3Sh_3 = \nu RT_3 \quad\longrightarrow\quad \nu RT_3 = m_1 g h_3 .\]

Выразим \(h_3\) через \(h_2\): \[\begin{align*} 0 &= \frac{C_V}{R}\bigl(\nu RT_3 - \nu RT_2\bigr) + m_1 g(h_3 - h_2),\\ 0 &= \frac{C_V}{R}\bigl(m_1 g h_3 - (m_1 + m_2)g h_2\bigr) + m_1 g(h_3 - h_2). \end{align*}\] Отсюда получаем: \[h_3 = \left(1 + k\cdot\frac{C_V}{C_P}\right)h_2 .\]

3. Используя полученные результаты, выразим \(h_3\) через \(h_1\): \[h_3 = \left(1 + k\cdot\frac{C_V}{C_P}\right)h_2 = \left(1 + k\cdot\frac{C_V}{C_P}\right)\cdot \left(1 - \frac{C_V}{C_P}\cdot\frac{k}{1 + k}\right)h_1 .\] Полагая \(V_1 = Sh_1\) и \(V_3 = Sh_3\), находим относительное изменение объёма: \[\frac{\Delta V}{V_1} = \frac{V_3 - V_1}{V_1} = \frac{h_3 - h_1}{h_1} = \left(1 + k\cdot\frac{C_V}{C_P}\right)\cdot \left(1 - \frac{C_V}{C_P}\cdot\frac{k}{1 + k}\right) - 1 .\] Упростим это выражение для одноатомного газа. В этом случае \(C_V/C_P = 3/5\). Получаем: \[\frac{\Delta V}{V_1} = \left(1 + \frac{3k}{5}\right)\cdot \left(1 - \frac{3k}{5(1 + k)}\right) - 1 .\] Окончательно: \[\frac{\Delta V}{V_1} = \frac{6k^2}{25(1 + k)} \quad\longrightarrow\quad \Delta V = \frac{6k^2V_1}{25(1 + k)} = 11\text{ см}^3 .\] В заключение отметим, что, строго говоря, в данной задаче нельзя пользоваться уравнением адиабаты, поскольку переходы между состояниями 1, 2 и 3 являются необратимыми. Использование уравнения адиабаты даёт \(\Delta V = 0\). Реально эта разность отлична от нуля, хотя и мала по сравнению с начальным объёмом \(V_1\). Малость \(\Delta V\) обусловлена малостью отношения масс груза и поршня.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.