Блок-обруч, груз и пружина

Скорости груза и всех точек обруча одинаковы, поэтому обруч добавляет к движущейся массе свою массу \(m_1\). Запишите энергию системы и покажите, что она устроена как у груза массой \(m_1+m_2\) на пружине жёсткости \(k\).

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_1 + m_2}{k}} = 1{,}3\text{ с}\).

1. Найдём удлинение пружины \(x_p\) в положении равновесия. Обозначим через \(T_1\) и \(T_2\) силы натяжения левого и правого вертикальных участков нити. В положении равновесия имеем: \[T_1 = kx_p, \qquad T_2 = m_2 g .\] Так как обруч не вращается, \(T_1 = T_2\). Получаем: \[kx_p = m_2 g \quad\longrightarrow\quad x_p = \frac{m_2 g}{k} .\]

2. Выведем систему из положения равновесия. Например, сместим точку \(B\), в которой нить прикреплена к пружине, вниз на расстояние \(x_0\) и отпустим без толчка. Величина \(x_0\) предполагается малой по сравнению с \(x_p\), так что при дальнейшем движении пружина остаётся растянутой и силы натяжения нити не обращаются в нуль. Начальное удлинение пружины равно \((x_p - x_0)\). Потенциальную энергию груза в поле тяжести примем за нуль в положении равновесия. Учитывая, что при смещении точки \(B\) вниз на расстояние \(x_0\) груз поднимается на такое же расстояние вверх, запишем начальную энергию системы: \[E_0 = \frac{k(x_p - x_0)^2}{2} + m_2 g x_0 = \frac{kx_p^2}{2} - kx_px_0 + \frac{kx_0^2}{2} + m_2 g x_0 .\] Здесь имеем: \[-kx_px_0 + m_2 g x_0 = -k\frac{m_2 g}{k}\,x_0 + m_2 g x_0 = 0 .\] Получаем: \[E_0 = \frac{kx_p^2}{2} + \frac{kx_0^2}{2} .\] Запишем теперь энергию системы \(E\) в некотором произвольном положении. Направим ось \(x\) вертикально вверх и будем отсчитывать координату груза \(x\) от положения равновесия. Удлинение пружины равно \((x_p - x)\). Обозначим скорость груза через \(V\). Поскольку нить не скользит по обручу, скорости всех его точек также равны \(V\). Получаем: \[E = \frac{m_1V^2}{2} + \frac{m_2V^2}{2} + \frac{k(x_p - x)^2}{2} + m_2 g x = \frac{(m_1 + m_2)V^2}{2} + \frac{kx_p^2}{2} - kx_px + \frac{kx^2}{2} + m_2 g x .\] Здесь имеем: \[-kx_px + m_2 g x = -k\frac{m_2 g}{k}\,x + m_2 g x = 0 .\] Получаем: \[E = \frac{(m_1 + m_2)V^2}{2} + \frac{kx_p^2}{2} + \frac{kx^2}{2} .\] Так как нить не скользит по обручу, механическая энергия системы сохраняется (не переходит в тепло): \[E = E_0 \quad\longrightarrow\quad \frac{(m_1 + m_2)V^2}{2} + \frac{kx_p^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kx_p^2}{2} + \frac{kx_0^2}{2},\] \[\frac{(m_1 + m_2)V^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kx_0^2}{2} .\] Получившееся равенство выглядит как закон сохранения энергии для груза массой \(M = m_1 + m_2\), колеблющегося на пружине жёсткости \(k\). Величина \(x_0\) играет роль начального смещения груза. Таким образом, можно утверждать, что в нашем случае период малых колебаний системы равен: \[T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}} = 1{,}3\text{ с} .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.