Планка на наклонных рельсах с катушкой

Сила Ампера направлена вертикально вверх, планка отрывается, когда она сравняется с силой тяжести. Раз сопротивления нет, ЭДС индукции в планке в каждый момент равна ЭДС самоиндукции катушки.

1) \(I = \dfrac{mg}{Bd} = 2\text{ А}\);  2) \(S = \dfrac{mgL}{(Bd)^2\sin\alpha} = 20\text{ см}\);  3) \(V = \dfrac{g\sqrt{mL}}{Bd} = 1\text{ м/с}\).

1. Направим единичный вектор нормали \(\vec n\) к плоскости контура вверх. Положительное направление обхода контура связано с направлением \(\vec n\) правилом буравчика (против часовой стрелки, если смотреть сверху). Обозначим через \(\vec V\) мгновенную скорость планки. За малое время \(\Delta t\) планка проходит вдоль рельсов расстояние \(\Delta S = V\Delta t\). Приращение магнитного потока через площадь контура равно: \[\Delta\Phi = \vec B\vec n\,d\,\Delta S = BVd\sin\alpha\,\Delta t .\] ЭДС индукции, возникающая в контуре: \[\varepsilon = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -BVd\sin\alpha .\] Знак минус означает, что ЭДС индукции действует в направлении, противоположном положительному направлению обхода, то есть по часовой стрелке, если смотреть сверху. В том же направлении течёт ток.

На планку действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила Ампера \(\vec F_A\), направленная вертикально вверх, и сила \(\vec N\), равная сумме двух нормальных реакций со стороны рельсов. Обозначим через \(\vec a\) ускорение планки и запишем уравнение второго закона Ньютона: \[m\vec a = m\vec g + \vec F_A + \vec N .\]

Проецируя на направление вектора \(\vec N\), получаем: \[0 = -mg\cos\alpha + F_A\cos\alpha + N \quad\longrightarrow\quad N = (mg - F_A)\cos\alpha .\] Сила Ампера равна: \[F_A = BId,\] \(I\) — мгновенное значение силы тока. При движении планки её скорость возрастает. Вслед за ней растут ЭДС индукции, сила тока и сила Ампера. Сила \(N\) при этом уменьшается и в некоторый момент времени обращается в нуль. В этот момент планка отрывается от рельсов. Полагая \(N = 0\), находим силу тока в момент отрыва: \[N = 0 \quad\longrightarrow\quad F_A = mg, \quad BId = mg \quad\longrightarrow\quad I = \frac{mg}{Bd} = 2\text{ А} .\]

2. Помимо ЭДС индукции, возникающей в движущейся планке, в катушке действует ЭДС самоиндукции. Если не учитывать сопротивление контура, то эти ЭДС следует приравнять друг другу: \[|\varepsilon| = L\frac{\Delta I}{\Delta t} \quad\longrightarrow\quad BVd\sin\alpha = L\frac{\Delta I}{\Delta t} .\] Здесь \(\Delta I\) — приращение силы тока за малое время \(\Delta t\). Перепишем это равенство так: \[B\cdot(V\Delta t)\cdot d\sin\alpha = L\Delta I, \qquad B\cdot\Delta S\cdot d\sin\alpha = L\Delta I .\] Суммируя такие равенства по всем малым промежуткам времени до момента отрыва и учитывая, что в начале движения сила тока равнялась нулю, получаем: \[BSd\sin\alpha = LI \quad\longrightarrow\quad S = \frac{LI}{Bd\sin\alpha} = \frac{mgL}{(Bd)^2\sin\alpha} = 20\text{ см} .\]

3. Запишем уравнение баланса энергии в контуре: \[\frac{LI^2}{2} = A_1,\] \(A_1\) — работа ЭДС индукции. Для планки имеем: \[\frac{mV^2}{2} - mgh = A_2,\] \(V\) — скорость планки при отрыве, \(h = S\sin\alpha\), \(A_2\) — работа силы Ампера. Сложим эти равенства: \[\frac{LI^2}{2} + \frac{mV^2}{2} - mgS\sin\alpha = A_1 + A_2 .\] Покажем, что сумма работ \(A_1\) и \(A_2\) равна нулю: \[A_1 + A_2 = 0 .\] Для этого рассмотрим элементарные работы за малое время \(\Delta t\). За это время в направлении действия ЭДС индукции по контуру протекает заряд \(\Delta q = I\Delta t\). Элементарная работа ЭДС индукции равна: \[\delta A_1 = |\varepsilon|\,\Delta q = BVd\sin\alpha\, I\Delta t .\] Для элементарной работы силы Ампера имеем: \[\delta A_2 = F_A\cdot\Delta S\cdot\cos(90^\circ + \alpha) = -BId\cdot V\Delta t\cdot\sin\alpha .\] Как видно, сумма элементарных работ равна нулю: \[\delta A_1 + \delta A_2 = 0 .\] Отсюда следует равенство нулю суммы полных работ \(A_1 + A_2\). В принципе, этот результат можно обосновать по"=другому, сказав, что ЭДС индукции и сила Ампера возникают вследствие действия силы Лоренца на свободные носители заряда в движущейся планке. Поскольку сила Лоренца не совершает работу, сумма работ ЭДС индукции и силы Ампера должна равняться нулю. Так или иначе, получаем закон сохранения энергии для системы, состоящей из движущейся планки и катушки индуктивности: \[\frac{LI^2}{2} + \frac{mV^2}{2} - mgS\sin\alpha = 0 .\] Отсюда находим скорость планки в момент отрыва: \[\frac{mV^2}{2} = mgS\sin\alpha - \frac{LI^2}{2} = mg\cdot\frac{mgL}{(Bd)^2\sin\alpha}\cdot\sin\alpha - \frac{L}{2}\left(\frac{mg}{Bd}\right)^2 = \frac{L}{2}\left(\frac{mg}{Bd}\right)^2,\] \[V = \frac{g\sqrt{mL}}{Bd} = 1\text{ м/с} .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.