Гармонист на карусели

Музыка может звучать фальшиво, если вследствие приближения или удаления от зрителя звучащей гармони частота звука при нажатии одной и той же клавиши изменяется больше, чем в \(a = \sqrt[24]{2}\) раз. Изменение частоты связано с эффектом Допплера. Прежде, чем приступать к решению задачи, рассмотрим подробнее происхождение этого эффекта.

Пусть источник звука, испускающий волны с частотой \(\nu_0 = 1/T_0\), где \(T_0\) — период колебаний источника, движется по направлению к приёмнику с постоянной скоростью \(v\). Представим, что за время \(t = NT_0\) испускается цуг, состоящий из \(N\) длин волн. Если скорость звука составляет \(c\), то через время \(t\), когда первая волна пройдёт расстояние \(ct\), последняя волна ещё только успеет выйти из источника, а сам источник пройдёт расстояние \(vt\). Значит, расстояние между началом и концом цуга через время \(t\) будет составлять \((c - v)t\), и на этом расстоянии будет укладываться \(N\) длин волн. Значит, длина волны, излучаемой движущимся источником, равна \[\lambda = \dfrac{(c - v)t}{N} = (c - v)T_0,\] а соответствующая ей частота, регистрируемая неподвижным приёмником, \[\nu = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{c}{(c - v)T_0} = \nu_0\dfrac{c}{c - v}.\] Это и есть формула, описывающая эффект Допплера. Если источник удаляется от приёмника, то перед скоростью источника \(v\) в данной формуле, очевидно, должен стоять знак «плюс». Отметим ещё раз, что эффект Допплера связан с изменением длины волны, испускаемой движущимся источником, а не с изменением скорости звука, которая зависит только от свойств среды.

Итак, мы выяснили, что приближение гармони к зрителю при вращении карусели приводит к повышению частоты звука, а удаление гармони — к понижению. В нашем случае изменение частоты максимально тогда, когда слушатель находится в одной плоскости с каруселью, а скорость гармониста, равная по величине \(\omega R\), направлена вдоль линии слушатель — гармонист (см. рис. 4.3).

Отношение повышенной частоты звука к номинальной \(\nu_0\) или номинальной частоты к пониженной частоте не должно превышать \(a = \sqrt[24]{2}\). Поскольку, очевидно, \(\omega R \ll c\), где \(\omega\) — угловая скорость вращения карусели, то, используя приближённую формулу \((1 + x)^n \approx 1 + nx\), в первом случае получаем \[\dfrac{\nu}{\nu_0} = \dfrac{c}{c - \omega R} \approx 1 + \dfrac{\omega R}{c} < a,\] а во втором случае \[\dfrac{\nu_0}{\nu} = \dfrac{c + \omega R}{c} = 1 + \dfrac{\omega R}{c} < a,\] то есть то же самое условие. Выражая из полученного соотношения угловую скорость \(\omega\), находим: \[\omega < \dfrac{c}{R}(a - 1) \approx 2\text{ рад/с}.\] Заметим, что и первое, и второе неравенства могут быть решены непосредственно, без использования приближённой формулы. При этом получаются два значения частоты: \[\omega < \omega_1 = \dfrac{c}{R}\cdot\dfrac{a - 1}{a} \approx 1{,}9698\text{ рад/с --- в первом случае},\] \[\omega < \omega_2 = \dfrac{c}{R}(a - 1) \approx 2{,}0276\text{ рад/с --- во втором случае}.\] Однако, частота \(\omega_1\) отличается от частоты \(\omega_2\) настолько незначительно, что смещение частоты, вызванное таким изменением угловой скорости, значительно меньше четверти тона и не может быть обнаружено на слух. Поэтому физически более правильно объединять случаи приближения и удаления гармониста и давать один приближённый ответ.

Отметим, что реальная угловая скорость вращения карусели, конечно, значительно меньше 2 рад/с, поскольку при такой угловой скорости центростремительное ускорение гармониста равнялось бы \(\omega^2R = 20\) м/с\(^2 \approx 2g\)!